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第三章刚体的转动和流体的运动,第三章刚体的转动与流体的运动,3-1刚体模型及其运动3-2力矩转动惯量定轴转动定律3-3定轴转动中的功能关系3-4定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律3-5进动3-6理想流体模型定常流动伯努利方程3-7牛顿力学的内在随机性混沌,3.1刚体模型及其运动,一、刚体,特殊的质点系，,理想化模型,形状和体积不变化,在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变,二、自由度,确定物体的位置所需要的独立坐标数,物体的自由度数,s,O,i=1,x,y,z,O,(x,y,z),i=3,i=2,x,y,z,O,i=3+2+1=6,当刚体受到某些限制自由度减少,刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行,三、刚体的平动,刚体平动,平动的特点,(1)刚体中各质点的运动情况相同,(2)刚体的平动可归结为质点运动,所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。,3-2力矩转动惯量定轴转动定律,z,M,I,II,P,一、描述刚体绕定轴转动的角量,刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动,刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动_刚体转动,转轴固定不动,定轴转动,定轴转动的特点：,（1）角位移，角速度和角加速度均相同；（2）质点在垂直转轴的各自平面内运动作半径不同的圆周运动。,1、角坐标、角速度角加速度,2、定轴转动刚体上各点的速度和加速度,定轴,P,刚体,参考方向,z,O,r,基点O,瞬时轴,任意点都绕同一轴作圆周运动,且，都相同,二、力矩,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,1、力对点的力矩,对于过O点Z轴，力矩可分解为两个分量,定义：,大小：,方向：垂直组成的平面,SI：Nm,（2）,（1）,大小：,平行于z轴,不产生对z轴的力矩,在转动平面内,产生对z轴的力矩,2、力对转轴Z的力矩,定义：,方向：沿z轴正或负方向,讨论,？,注:在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。,注:对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。,O,对刚体中任一质量元,-外力,-内力,O,（3）力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影等于该力对该轴的力矩,（4）在具体的坐标系中，力矩在各坐标轴的分量，就叫对轴的力矩。,3、刚体的合力矩,内力对定点的力矩之和为零,？,(1)力对点的力矩,O.,(2)力对定轴力矩的矢量形式,(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩,小结,在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向,h,A,A,(4)刚体的合力矩,例,已知棒长L,质量M，在摩擦系数为的桌面转动(如图),解,dx,例如,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,求摩擦力对y轴的力矩,刚体的转动定律,作用在刚体上所有的外力对定轴z轴的力矩的代数和,刚体对z轴的转动惯量,(1)M正比于，力矩越大，刚体的越大,(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同,三、刚体对定轴的转动定律,实验证明,当M为零时，则刚体保持静止或匀速转动,当存在M时，与M成正比，而与J成反比,(3)与牛顿定律比较：,讨论,在国际单位中k=1,强调：均对同一转轴而言,O,理论推证,取一质量元,切线方向,对固定轴的力矩,对所有质元,合内力矩=0,合外力矩M,刚体的转动惯量J,写成矢量式：,强调：均对同一转轴而言,四、转动惯量,1、转动惯量的定义式:,（质量不连续分布）,（质量连续分布）,转动惯量的三要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置,J物理意义：转动中物体惯性的量度,定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,则称rG为刚体对该定轴的回转半径,(1)J与刚体的总质量有关,例如细棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,(2)J与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,2、平行轴定理及垂直轴定理,z,h,C,M,z,z,(3)J与转轴的位置有关,平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,此定理只适用于平面薄板状的物体，并限于板内的两轴相互垂直，Z轴与板面正交。,垂直轴定理(薄板),x,y轴在薄板内；z轴垂直薄板,例计算钟摆的转动惯量。已知：摆锤质量m，半径r，摆杆质量m，长度2r,解：,摆杆：,摆锤：,钟摆：,强调：J和转轴有关同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的,大小：,2、力对转轴Z的力矩,定义：,方向：沿z轴正或负方向,小结,1、力对点的力矩,定义：,二、转动定律,三.转动惯量,一、力矩,3、刚体的合力矩,定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。,(1)飞轮的角加速度,(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度,解(1),(2),两者区别,五、转动定律的应用举例,例1,求,一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图),例2一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m2如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为M。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,解:,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，有,这种装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。,已知m1、m2、r和J，通过实验测物体1和2的加速度a，算出g。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。,取,3-3定轴转动中的功能关系,一、刚体的动能,z,O,设系统包括有N个质量元,其动能为,各质量元速度不同，但角速度相同,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,（刚体的转动动能）,二、力矩的功,O,1、力矩功的定义,2、力矩作功的微分形式,对一有限过程,若M=C,(积分形式）,力的累积过程力矩的空间累积效应,.P,讨论,(1)合力矩的功,三、转动动能定理,力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,(3)力矩的功就是力的功。,(2)力矩的功就是合力矩的功；内力矩作功之和为零。,力矩的元功,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,四、刚体重力势能,例1一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,解：,由动能定理,求它由此下摆角时的,此题也可用机械能守恒定律方便求解,图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离h，所用时间为t，,例2,求：物体A对Z轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。,解,分析（机械能）：,若滑轮质量不可忽略，怎样？,机械能守恒,质点的角动量,刚体绕定轴转动的角动量,质点的角动量守恒定律,质点的角动量定理,刚体的角动量守恒定律,刚体绕定轴转动的角动量定理,3-4角动量定理和角动量守恒定律,一、质点角动量(动量矩)定理和角动量守恒定律,1.质点的角动量(对O点),大小:,质点的角动量与质点的动量及位矢有关。(取决于固定点的选择),特例：质点作圆周运动,3-4角动量定理和角动量守恒定律,说明在惯性参照系中,O,S,惯性参照系,(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O的角动量也称为质点对过O垂直于运动平面的轴的角动量。,方向：垂直组成的平面,SI:,(3)质点对某点的角动量,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的角动量,例,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3,求此时刻质点对三个参考点的角动量,解,(4)对轴的角动量在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量。,(质点角动量定理的积分形式),(质点角动量定理的微分形式),质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量,2.质点的角动量定理,说明,(1)冲量矩是质点角动量变化的原因,(2)质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果,称为在时间内的冲量矩，它表示了力矩在一段时间间隔内的累积效应。,3.质点角动量守恒定律,(2)通常对有心力：,例如由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律,(1)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用,讨论,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,过O点，M=0，角动量守恒,当飞船静止于空间距行星中心4R时，以速度v0发射一,求：角及着陆滑行的初速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的角动量守恒,系统的机械能守恒,例发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R的行星，,质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律,质点系对参考点O的角动量就是质点系所有质点对同一参考点的角动量的矢量和,1、质点系的角动量,=0,2、质点系角动量定理,质点系的角动量定理,微分形式,积分形式,质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量。,质点系的内力矩不能改变质点系的角动量,说明：,=0,3.质点系角动量守恒定律,对质点系,三、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1.刚体定轴转动的角动量,O,如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴角动量守恒,如,刚体上各质点都具有相同的方向，合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加,(所有质元的角动量之和),刚体上任一质点对Z轴的角动量：,2.刚体定轴转动的角动量定理,由转动定律,（角动量定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量,说明,3.刚体定轴转动的角动量守恒定律,对定轴转动刚体,（1）对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。,=恒量,=恒量,(b)当变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒,如：花样滑冰、跳水、芭蕾舞等,(a)变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量,（2）若系统由若干个刚体构成（系统内可能既有平动也有转动），若系统对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。如变形体：,4、力矩的瞬时作用规律,力矩的持续作用规律,守恒定律,（分析某一时刻合外力矩与转动状态的关系）,（分析过程特点，选取始末状态）,（判断守恒条件）,例,如此衔接，角动量守恒吗？,转动定律微积分法,动能和角动量定理,角动量守恒定理,一、运动学,描写刚体转动的物理量,1、角量：,线量：,微积分关系,2、角量与线量的关系,3、方向：右手螺旋法,4、匀角加速转动公式,小结3,二、动力学,1、基本概念：,力矩：,转动惯量：,转动动能：,转动角动量：,定轴转动：,（定点、定轴）,（定点）,2、基本定理：,转动定律：,（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）,转动动能定理：,角动量定理：,力矩的持续作用规律,功能原理：,守恒定律：,时，守恒,时，守恒,3、解题思路：,平动部分：分析外力,转动部分：分析力矩,平动与转动的联系：角量和线量的关系,（隔离分析方法）,直线运动与定轴转动规律对照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,定轴转动刚体的角动量守恒定律,圆锥摆,下面各系统动量、角动量和机械能是否守恒？,例1质点与质量均匀的细棒相撞(如图),解：过程1质点与细棒相碰撞。碰撞过程中系统对o点的合力矩为,设，完全非弹性碰撞,求：棒摆的最大角度,所以，系统对o点的角动量守恒。即，,细棒势能,过程2质点、细棒上摆，系统中包括地球，只有保守内力作功，所以机械能守恒。设末态为势能零点,质点势能,补充：一长为l、质量为m的匀质细杆，可绕光滑轴O在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0的子弹水平射入与轴相距为a处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。,解：分两个阶段进行考虑,(1)子弹射入细杆,使细杆获得初速度。因这一过程进行得很快,细杆发生偏转极小,可认为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成待分析的系统,对于轴O无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前、后的一瞬间,系统角动量分别为,由角动量守恒:,(2)子弹随杆一起绕轴O转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为：,由机械能守恒，E=E0,代入q=300，得：,例2:有一细棒长为质量为均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另有一水平运动的小滑块，质量为，以水平速度从左侧垂直与棒的另一端作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始转动到停止转动过程中所经历的时间。,解：,设角动量向上的方向为正，碰撞瞬间：,机械能守恒,在棒上取质量元，离轴的距离为,又由角动量定理,例3：人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点O上，如图所示。已知轨道的近地点P距地面145公里。远地点A距地面151公里，地球半径R=6400公里。试求卫星在近地点P的动能与其在远地点A的动能的比值。,解：设人造地球卫星质量为，人造卫星对点的角动量守恒。,而卫星在P、A两点的动能之比为：,例题3-12工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,解：,系统的角动量守恒,补充：A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：wA=50rad.s-1,wB=200rad.s-1。已知A圆盘半径RA=0.2m,质量mA=2kg,B圆盘的半径RB=0.1m,质量mB=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度w.,解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到,例题3-13恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周，它的内核半径R0约为2107m，坍缩成半径R仅为6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球。,解在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的角动量J00和J应相等。因,代入J00=J中，整理后得：,原来系统对中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即,例题3-14图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J=2103kgm2，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷气流量恒定，共是=2kg/s。废气的喷射速率（相对于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。,解,喷出的气体对中心轴的角动量为dmr(u+v),近似地等于dmru。,例1,如图所示，弹簧（l0，k）一端固定在一光滑水平面的O点，另一端系一质量为m的小球。开始时，弹簧被拉长x，即ll0x，此时给小球一个与弹簧垂直的初速度0，,求：当弹簧恢复原长l0时，小球的速度,解,小球绕O点转动，但并非圆周运动,小球弹簧：机械能E守恒,小球运动过程中受有心力作用，角动量L守恒,如图所示，细杆（l，m）可绕端点O的水平轴转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体M相碰，物体与地面摩擦系数为，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s后停止，,例2,求：碰后杆质心C离地最大高度，并说明杆向左右摆的条件,解,（1）自由下落过程,（E守恒）,（2）杆物相碰,（L守恒）,（3）碰后物体滑动,（动能定理）,杆向右摆,杆向左摆,（4）碰后杆摆动,（E守恒）,如图所示，细杆（l，m1）可绕端点O转动，与水平桌面摩擦系数为。有一运动的滑块m2，以速度1与静止杆的另一端点垂直相碰，t极短，碰后速度2与1反向，,例3,求：细杆从碰后到停下来经历的时间t,解：,m1与m2相碰，动量不守恒，但角动量守恒,碰后的角速度,细杆在平面内移动时受到阻力（摩擦力）矩：,方法一：,转动定理,（匀角加速）,方法二：,角动量定理,如图所示，质量为m的物体挂在匀质圆盘（M，R）边缘，盘可绕水平光滑轴转动，起初在圆盘上加一恒力矩，使物体以0匀速上升，如去掉所加恒力矩，经历多少时间圆盘开始作反向转动？,例4,解法一：,转动定理,M转动：,m平动：,恒定加速度,解法二：,功能原理,研究对象：Mm地球,E守恒,取初态位置为重力势能零点,解法三：,角动量定理,例5质量为mA的物体A静止在光滑水平面上,和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为R质量为mC的圆柱形滑轮C,并系在另一质量为mB的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.,(3)若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为Mf再求线加速度及绳的张力.,(2)物体B从静止落下距离y时,其速率是多少?,问:(1)两物体的线加速度为多少?水平和竖直两段绳索的张力各为多少？,解（1）隔离,取坐标如图,列方程：,方程简化得：,如,(3)考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩,(2)B由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率,如图所示,例,解析：,（平动转动）,隔离分析受力（矩）,规定正方向：逆时针,平动：分析受力,转动：分析力矩,线量与角量关系：,六个未知数，六个方程，可求解T1，T2，T3，a，1，2,例6一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。,此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是,因m=eR2，代入得,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.,设圆盘经过时间t停止转动，则有,由此求得,例7一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。,解：,c,o,B,A,（1）,棒对于O轴的转动惯量为：,水平位置时：,由定轴转动定律可得：,（2）,由定轴转动定律：,任意位置时：,积分得：,此时的角速度为：,角加速度为：,例8.质量为M，半径为R的转台，可绕中心轴转动。转台与轴间摩擦不计，设质量为m的人站在台边缘。初始时人、台都静止。若人相对台匀速率沿边缘行走一周，问：相对地面，人和台各转过多少角度？,解：,角动量守恒：,人相对于转台的角速度：,人跑一周所需的时间：,人：,台：,
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