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Review,动荷载(DynamicLoad)的定义与分类；动力学研究的内容、任务；动力自由度(DynamicDegreeofFreedom),10.2单自由度无阻尼体系的自由振动Free-VibrationofSDOFSystemwithoutDamping,SDOF：singledegreeoffreedom,教学内容,自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法自由振动微分方程的解解的物理意义,重要性,单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估算，如：水塔、单层厂房等。,单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的基础。,质点的达朗伯(dAlembert)原理,在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。,1.自由振动方程的建立,要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，这里介绍建立在达朗伯原理基础上的“动静法”。,形式上的平衡方程，实质上的运动方程。,Formulationtheequationoffree-vibration,悬臂梁-质量模型,刚度法(Stiffnessmethod),建立振动微分方程的2种方法,理论力学知识的回顾：弹簧-振子模型,惯性力（Inertiaforce）:与加速度的方向相反,弹性力-ky（Elasticforce）：与位移方向相反,约束反力和惯性力的平衡,描述下其运动过程？,k刚度系数（Stiffnesscoefficient）：使弹簧发生单位变形时所需施加的力。,从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法(Stiffnessmethod).,k刚度系数（Stiffnesscoefficient）：使结构发生单位位移时所施加的力。,刚度法列运动方程的步骤,建立体系的坐标系，确定坐标原点；,取质量为隔离体，进行受力分析（需考虑惯性力）；,列平衡方程；,建立图示体系的竖向运动方程：重力的影响分析,以平衡位置为坐标原点,以静力平衡位置建立坐标，可不考虑重力的影响，总位移为动位移与静位移之和。,例1.用刚度法列体系的运动方程,单自由度体系运动方程的通用形式,k=?，静力学知识为基础,图乘法,柔度法(Flexibilitymethod),不同方法得到相同的表达式,柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？,单位荷载引起的结构的变形,y,受力分析，求外力作用下体系的位移,从柔度的概念出发，分析结构的变形，建立运动方程,柔度法列运动方程的步骤,在质量上沿位移方向施加惯性力；,求外力（包括惯性力）引起的质量的位移；,令该位移等于体系的位移；,例2.用柔度法建立体系的运动方程,图乘法,柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。,例3：用柔度法列运动方程,例4.求图示体系的自振频率和周期。,解：,自由度数判断：1个,2.自由振动微分方程的解,C1、C2为由初始条件确定的待定常数,高等数学知识,振幅：Amplitude,初始相位角：Initialphaseangle,3.基本概念及其物理意义,为质点重力沿振动方向作用时引起的质点静位移,圆频率,自振周期,频率,在2个单位时间内的振动次数，单位Rad/s,y(t+T)=y(t),单位时间内的振动次数，单位s-1或者Hz,结构自振周期的一些重要性质：自振周期是结构固有特性，仅与结构的质量和刚度有关，与外界影响无关，外界扰动只能影响振幅，不能改变自振周期；要改变结构的自振周期，只能从改变结构质量或刚度入手；自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。,例5.如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度EI，跨度为l。在梁的跨度中点有一个集中质量m。如果忽略梁本身的质量，试求梁的自振周期T和圆频率。,例6.求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给质量一个初速度v0，求自由振动的响应（振幅和相位）,EI,自由度个数判断：1个,自振频率计算公式,计算k或：静力学知识,初始条件：,自由振动的响应为：,4.振动特征VibrationCharacteristic,Displacement,Acceleration,InertiaForce,惯性力大小与位移成正比，且方向总是相同。注意：是与位移y(t)同向。,由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，把微分方程转化为代数方程，使计算得以简化。,Displacement,InertiaForce,在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；,例7.求图示体系的自振频率,单自由度体系,列幅值方程时，最大惯性力应与位移方向相同,Homework,可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过程。,补充题：求图示体系自振频率。设梁端重物的质量为m，梁与弹簧的质量不计，并讨论体系自振频率随弹簧弹性刚度k的变化规律。,10-310-410-5,y(t),2y(t),3y(t),练习1.列出体系的运动方程，并求自振频率。,习题课,方法1：根据受力分析，列运动方程,单自由度体系运动方程通用形式,A,方法2：列幅值方程,2A,3A,列运动方程时，惯性力是一个整体，其方向与位移同向；,列幅值时，惯性力幅值其方向与位移同向。,层间侧移刚度,对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生相对单位水平位移时，两层之间所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度。,画弯矩图？,位移法,练习2.计算图示刚架的频率和周期。,Stiffnesscoefficient,练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时的自振频率，自重忽略不计。,HorizontalVibration：,Anti-symmetricalLoad+symmetricalStructure,-FlexibilityMethod,HorizontalVibration：,-StiffnessMethod,P280,VerticalVibration：,symmetricalLoad+symmetricalStructure,-FlexibilityMethod,VerticalVibration：,-StiffnessMethod,SDOF的自振频率采用柔度法和刚度法进行计算。一般来说，当结构为静定，或超静定次数较低，便于计算柔度系数时，采用柔度法；当超静定次数较高，便于计算刚度系数时，则刚度法较为方便。如结构具有对称性，可利用对称性进行简化计算。,练习4.图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,FlexibilityCoefficient:,5l/32,3l/16,l/2,结构约束越强,其刚度越大，自振动频率也越大。,据此可得：,练习5.求图示结构的自振圆频率,解法1：求k,=1/h,MBA=kh=MBC,解法2：求,练习6.求图示结构的自振频率,Stiffnesscoefficient,弹簧串联：每个弹簧承受的荷载相等，都等于外荷载。,弹簧并联：每个弹簧的变形相等。,练习7.求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支座的弹簧刚度系数为k。,关键：柔度系数，柔度系数的概念,沿W的振动方向施加单位力，位移由两部分组成：由于弹性支座变形产生的1和由于杆件变形产生的2。,（1）求1：只有弹簧变形，杆件不变形,（2）求2：只有杆件变形，弹簧不变形,练习8.求图示结构的自振频率,有几个自由度？,求刚度系数容易还是柔度系数容易？,理解k的物理意义！,Homework,补充题：图示桁架，在跨中结点上有一集中质量m，求体系自振圆频率。各杆EA为常数，质量不计。,提示：,自由度数判断：1个，竖向振动；转化为求刚度系数或柔度系数；求柔度系数容易，如何求？回顾下桁架结构的位移计算。,
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