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5.5定积分在几何中的应用,一、定积分的微元法,二、平面图形的面积,三、旋转体的体积,一、定积分的微元法,第三步求和：,曲边梯形面积A,第四步取极限：,n，=maxxi0，,如果把第二步中的xi用x替代，,中的被积分式f(x)dx具有类同的形式，,第二步取近似时其形式f(xi)xi，与第四步积分,xi用dx替代，,那么它就是第四步积分中的被积分式，,第一步选取积分变量，,例如选取x，,并确定其范围，,例如xa,b，,在其上任取一个子区间记作x,x+dx.,第二步取所求量I在子区间x,x+dx上的部分量I的近似值,If(x)dx，,第三步取定积分,基于此，我们把上述四步简化为三步：,几点说明：,(1)取近似值时，,得到的是形如f(x)dx的近似值，,并且要求I-f(x)dx是dx的高阶无穷小量，,关于后一个要求在实际问题中常常能满足.,(2)满足(1)的要求后，,f(x)dx是所求量I的微分，,所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即,dI=f(x)dx，,dI称为量I的微元.,上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.,计算由区间a,b上的两条连续曲线以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。,由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间a,b，在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上，相应的面积可以用x点处的函数值,二、平面图形的面积,为高,所以，所求平面图形的面积A为,以dx为底的矩形面积近似代替（如图），从而得到面积元素,解：作出所围成的平面图形,取x为积分变量，其变化区间为0，1。于是，平面图形的面积,例2求出抛物线y2=2x与直线y=x4所围成的平面图形的面积.,解作草图，如图，,求抛物线与直线的交点，,即解方程组,得交点A(2,-2)和B(8,4).,(8,4),(2,-2),于是,如果选择x为积分变量，,那么它的表达式就比上式复杂.,如果选择y作积分变量，y-2,4，,x,y,A,B,(8,4),(2,-2),-2,4,y,y=x-4,y2=2x,y+dy,任取一个子区间y,y+dy-2,4，,则在y,y+dy上的面积微元是,例3求y=sinx，y=cosx，,解由上述公式知,所围成的平面图形的面积.,也可以先作出该平面图形的草图，,如图，,就不必用公式了.,则直接可得,例4求椭圆x=acost，y=bsint的面积，其中a0，b0.,解因为图形关于x轴、y轴对称，,所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，,把x=acost，y=bsint代入上述积分式中，,上、下限也要相应地变换(满足积分变量t).,由定积分的换元公式得,即,一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠都是旋转体。,计算由区间a、b上的连续曲线、两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。,三、旋转体的体积,由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间a,b。在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上，相应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底面半径，以dx为高的扁圆柱体的体积近似代替，,从而得到体积元素,所以，所求旋转体的体积,类似地可得，由区间c,d上的连续曲线,两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为,例5求由椭圆,解利用图形的对称性,只需考虑第一象限内,(一)绕x轴：选取积分变量为x0,a，,所围图形分别绕,x轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.,任取一个子区间x,x+dx0,a，,的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，,所求体积为该体积的2倍。,在子区间x,x+dx上旋转体的微元为：,于是,dV1=py2dx，,(二)绕y轴：选积分变量y0,b，任取子区间y,y+dy0,b.,在子区间y,y+dy上体积的微元为,则,例6求y=x2与y2=x所围图形绕x轴旋转所成的旋转体体积.,解选积分变量x0,1(两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，,任取子区间x,x+dx0,1，其上的体积的微元为,体积微元的求法,1.曲线与直线所成的图形的面积为（）,2.将第一象限内由x轴和曲线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积等于(),思考题,D,C,习题5-51（1）（3）45,作业题,
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