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集合论简介,内容：,集合，元素，子集，幂集等。,重点：,(1)掌握集合的概念及两种表示法，,(3)掌握子集及两集合相等的概念，,(4)掌握幂集的概念及求法。,第三章集合,第一节集合的基本概念,一、集合的概念。,1、集合一些确定的对象的整体。,集合用大写的字母标记,其中的对象称元素，用小写字母标记,注意：,(2)集合中的元素均不相同,表示同一个集合。,例如：,2、集合的表示法。,(1)列举法(将元素一一列出),例如：,(2)描述法(用谓词概括元素的属性),例如：,一般，用描述法表示集合,3、常见的一些集合。,4、集合间的关系。,5、特殊的集合。,空集,例1、选择适当的谓词表示下列集合。,(1)小于5的非负整数集,(2)奇整数集合,(3)10的整倍数集合，,(4),例2、确定下面命题的真值：,(1),真值,真值,(2),(3),真值,(4),真值,(5),真值,(6),真值,(7),真值,(8),真值,二、幂集。,解：,例5、求以下集合的幂集。,(1),解：,(2),解：,(3),解：,(4),解：,(5),解：,内容：,集合的运算，文氏图，运算律。,重点：,(1)掌握集合的运算,(3)掌握基本运算律的内容及运用。,第二节集合的运算,一、集合的运算。,以上定义加以推广，,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),1、文氏图。,(2)矩形内的圆表示集合，,(4)圆中的阴影的区域表示新组成的集合。,2、用文氏图表示集合的有关运算。,例2、用文氏图表示下列集合。,(1),(2),(3),(4),例3、用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。,(1),解：,(2),解：,三包含排斥定理,设和是两个有限集合，则，,其中分别表示、的元数,把包含排斥定理推广到个集合的情况可用如下定理表述：,设为有限集合，其元数分别为，则,例4,求从1到500之间能被2,3,7任何一个数整除的整数的个数,例5有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言，35名熟悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言问有多少人对这两种语言都不熟悉？,第三节集合的运算性质,9、德摩根律：,10、双重否定律：,以上恒等式的证明思路：,故,除基本运算外，还有以下一些常用性质(证明略),16、,17、,18、,19、,20、,故,证明：,例7、化简,所以原式化简为,又因为,又,真命题,假命题,真命题,一、笛卡儿积。,第四节序偶与笛卡儿积,2、有序元组,是一个有序对，其中第一个元素是一个有序元组，一个有序元组记作,即,2、笛卡儿积。,解：,当且仅当,解：,(2)笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。,例3设,试求：,（1）；,（2）；,（3）。,解：,（1）,（2）,（3）,笛卡儿积运算具有以下性质：,1若中有一个空集，则它们的笛卡儿积是空集，即,2当且都不是空集时，有,3当都不是空集时，有,4笛卡儿积运算对或运算满足分配律，即,(1),(2),(3),(4),例4、证明：,一、集合的基本概念。,1、基本概念。,2、应用。,(1)用集合的两种表示法表示集合。,(2)求给定集合的幂集。,第三章小结与例题,二、集合的基本运算与性质。,1、基本概念。,2、应用。,(1)用文氏图表示集合间的相互关系和运算。,(2)运用基本运算律进行证明，化简等。,三,序偶与笛卡儿积,表示计算机科学系学生的集合，,表示二年级大学生的集合，,表示数学系学生的集合，,表示选修离散数学的学生的集合，,表示爱好文学的学生的集合，,表示爱好体育运动的学生的集合，,用集合交集，并集和包含关系表示：,(1)所有计算机科学系二年级的学生都选修离散数学，,解：,(2)数学系的学生或者爱好文学或者爱好体育运动，,解：,(3)数学系一年级的学生都没有选修离散数学，,解：,(4)只有一、二年级的学生才爱好体育运动，,解：,解：,(1),解：,解：,(4)若,解：,(1),解：结论不一定成立。,(2),解：结论不一定成立。,(3),解：结论成立。,(1),，有,证明：设,例6、设为任意集合，证明：,(2),证明：设,，有,例7、求下列集合的基数和每个集合的幂集。,(1),解：基数2，,幂集为：,(2),解：基数3，,幂集为：,(1)2，4，6，8,解：,(2)3，6，9,解：,(3)10,解：,解：,解：,(1)所有奇数的集合；,解：,(2),解：,(3),解：,(4),解：,
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