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矩阵论电子教程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,DepartmentofMathematics,内积空间,第二章,教学内容和基本要求,1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系.,3.理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，,2.了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法.,4.掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质,重点:内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系难点:正交变换的判定方法,定义2：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。,一,向量的正交与标准正交基,定义1：在酉空间中，如果，则称与正交。记为:,定义3：设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。定义4：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。,例1在中向量组,都是标准正交向量组,定理1:标准正交向量组必为线性无关向量组,证明:设为标准正交向量组,即:,令:,并和做内积:,即线性无关,所以,是线性无关组,由单位向量构成的正交基称为标准正交基.,定义5：（正交与标准正交基的定义）,定义6：设为一个阶复矩阵，如果其满足则称是酉矩阵，一般记为,定义7：设为一个阶实矩阵，如果其满足则称是正交矩阵，一般记为,二.酉矩阵正交矩阵,例2.,是一个正交矩阵,是一个正交矩阵,是一个正交矩阵,酉矩阵与正交矩阵的性质：,设，那么,证明6:设,由知:,所以,证明:因为,证明:不妨设是酉空间,为两组基,为过渡矩阵,则有定理知:,推论:设为酉(欧氏)空间,为的两组标准正交基,为过渡矩阵,在两组基下的坐标分别为,则:,(定理1)维欧氏(酉)空间中任一个正交向量组,都能扩充成一组正交基.,三.标准正交基的构造施密特(Schmidt)正交化过程,Schmidt正交化过程:,化成正交向量组,先把线性无关的向量组,再单位化得标准正交向量组,不难证明:是V中正交向量,例1.把,变成单位正交的向量组.,解：令,正交化,再单位化,即为所求,例2.在中定义内积为,求的一组标准正交基,(由基出发作正交化),解:取,正交化,单位化,于是得的标准正交基,由公式（3），有,（7）,把A按列分块为,由（7）有,（8）,Good,Bye,
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