复、实系数多项式.ppt

4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、复系数多项式,二、实系数多项式,1.8复系数与实系数多项式的因式分解,1.代数基本定理,一、复系数多项式,若则在复数域,上必有一根,推论1,使,推论2,复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即,则可约,2.复系数多项式因式分解定理,若则在复数域,上可唯一分解成一次因式的乘积,推论1,推论2,若则在,其中是不同的复数，,上具有标准分解式,复根（重根按重数计算）,若，则有n个,二、实系数多项式,命题：若是实系数多项式的复根，则的共轭复数也是的复根,若为根，则,两边取共轭有,也是为复根,证：,设,实系数多项式因式分解定理,，若，则可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积,证：对的次数作数学归纳,时，结论显然成立.,假设对次数n的多项式结论成立,设，由代数基本定理,有一复根,若为实数,则，其中,若不为实数，则也是的复根，于是,设，则,即在R上是一个二次不可约多项式,从而,由归纳假设、可分解成一次因式与二次,不可约多项式的乘积,由归纳原理，定理得证,在R上具有标准分解式,推论1,其中,且，即为,R上的不可约多项式.,推论2,实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二,例2.求在上与在上的标准分解式.,1)在复数范围内有n个复根，,次不可约多项式，所有次数3的多项式皆可约.,解：,例1.已知是方程,的一个根，求方程的所有根.,2)在实数域范围内,这里,当n为奇数时,当n为偶数时,