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如何写好数学建模竞赛答卷及案例,吉林大学数学学院王德辉wangdh,如何写好数学建模竞赛答卷及案例,第一部分建立数学模型第一部分如何写好数学建模竞赛答卷第二部分数学建模案例（奥运场馆问题）,玩具、照片,实物模型,风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,我们常见的模型,什么是数学模型,第一部分建立数学模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到x=20,y=5,答：船速每小时20公里,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20,y=5）；,回答原问题（船速每小时20公里）。,数学模型(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling),数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模：建立数学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检验）。,数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。,数学建模,计算机技术,知识经济,建模示例商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河,模型构成,Xk:第k次渡河前此岸的商人数,Yk:第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk):过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S:允许状态集合,Uk:第k次渡船上的商人数,Vk:第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)u+v=1,2允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策D移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态S,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,D=(u,v)u+v=1,2,习题,模仿这一案例，作下面一题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,建模示例如何预报人口的增长,指数增长模型,常用的计算公式,马尔萨斯（1788-1834）提出的指数增长模型(1798),x(t):时刻t人口,r:人口(相对)增长率(常数),今年人口x0,年增长率r,k年后人口,随着时间增加人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假定：,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,阻滞增长模型(Logistic模型),x(t):S形曲线,x增加先快后慢,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位:百万）,专家估计,模型检验,用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较,实际为251.4(百万),模型应用人口预报,用美国1790-1990年人口数据重新估计参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,第二部分如何写好数学建模竞赛答卷,一、写好数模答卷的重要性二、答卷的基本内容，需要重视的问题三、对分工执笔的同学的要求四、关于写答卷前的思考和工作规划五、答卷要求的原理,一、写好数模答卷的重要性,1.评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，数模答卷是唯一依据。2.答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。3.写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。,二、答卷的基本内容，需要重视的问题,.评阅原则.答卷的文章结构.要重视的问题,.评阅原则,假设的合理性建模的创造性结果的合理性表述的清晰程度,.答卷的文章结构,0摘要1问题的叙述，问题的分析，背景的分析等，略2模型的假设，符号说明（表）3模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型等）4模型的求解5结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验6模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广.7参考文献8附录,4模型的求解,计算方法设计或选择；算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计算框图；所采用的软件名称；引用或建立必要的数学命题和定理；求解方案及流程,8附录,计算框图详细图表,.要重视的问题,0摘要。1问题重述。2模型假设3模型的建立4模型求解5结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示6模型评价和推广7参考文献8附录,0摘要,a.模型的数学归类（在数学上属于什么类型）b.建模的思想（思路）c.算法思想（求解思路）d.建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验.）e.主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”）表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法；符合打印文章格式。务必认真校对。,例1：本文获2004年全国数学建模竞赛一等奖。（国防科大：黄立波）摘要：本文所要讨论的问题可以归结为一个二元整数规划问题。首先，我们根据三次预演运动会的调查结果推断出奥运会期间观众在出行方式、餐饮、消费水平三个方面的行为规律以及不同性别、年龄的人群在这三个方面上的差异，然后根据这些规律估计了奥运会期间各主要场馆周围商业区的人流分布情况。为了更好地反映商业区的商业价值，本文在人流分布的基础上进一步讨论了各商区的消费潜力的分布并据此设计商业区的超市群：首先，我们从招租方（组委会）、经营商和顾客三个不同角度讨论了大、小规模MS对各自利益的影响，并分别以地租总收入、单位面积上的平均利润和安全经营率、顾客满意度等量化指标来衡量三者的各自的利益。此时，问题转化为二元整数规划问题：为各个商区确立大MS数目和小MS的数目，使得模型在满足经营商和顾客的一定的利益的前提下（约束条件），组委会获得的利益最大。通过计算，我们求解得到了全部商区的规划设计方案，比如在A6区（面积约为15;000m2）中需要建设5个大MS（面积为450m2）和17个小MS（面积为150m2），该商业区内的超市的总建筑面积为4;800m2，约占整个商业区面积的三分之一。为了说明我们方案的合理性和贴近实际的特性，我们从顾客满意度、零售单位与人口分布的一致性指数、公平竞争原则和共同盈利原则四个方面对模型的合理性进行了分析说明。在模型的进一步讨论中，我们讨论了经济增长、旅游人口等因素对设计方案可能产生的影响。另外，为了使同一商区内的超市间避免盲目竞争，同时也是为了奥运会结束后能更好地现有的临时商业点地面进行二次开发，我们利用商圈理论对商区内超市的布局原则做了讨论并得出“大店分散，小店聚集”的规律。最后，我们根据模型求解的结果给北京奥组委提出几点建议：关注市场规模的增长、流动人口对市场的影响以及及时制定临时商业用地的二次开发方案。,例2：本文获2004年全国数学建模一等奖。（国防科大于旭东）摘要：本文首先对三次问卷调查的结果进行统计分析，以年龄结构、出行方式、用餐习惯以及消费水平为不同划分标准，得出人群的分布规律以及各规律间的内在联系：1.选择不同出行方式的各类人群在消费水平方面的分布是相似的。2.选择不同用餐习惯的各类人群在消费水平方面的分布是相似的。在对人流量分布问题的处理上，我们根据题目给出的假设，在保证每位观众的“最短路径”前提下，模拟出观众的行进路线，从而跟踪计算出各商区的人流量比例。结果见表1。对各商区的MS设置的方案设计，是一个多目标规划问题，目标函数为：满足观众购物需求、分布均衡以及商业上盈利。我们首先根据基于网络的Hu2，来衡量整个商业区的MS分布情况，再通过改进的模拟退火算法求出各商区间MS分布方差最小的设计方案，即为所求的最优解。由于存在两种不同规模的MS，我们严格讨论了其性质与特征，并根据不同情况，在满足目标函数的前提下，对MS和LMS在商区内的数量分布进行了设计，结果见表2。最后，我们对模型的科学性与现实性进行了阐述。根据雅典奥运体育场的构造图，验证了各商区的MS个数比例是符合实际的。,1问题重述,用自己的话去复述或理解一遍，实际是问题分析的开始切忌：原封不动照写一遍,2模型假设,根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。（1）根据题目中条件作出假设（2）根据题目中要求作出假设关键性假设不能缺；假设要切合题意,3模型的建立,（1）基本模型：（2）简化模型（3）模型要实用，有效，有特色，以解决问题有效为原则。（4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异（5）在问题分析推导过程中，需要注意的问题：,3（1）基本模型：,1)首先要有数学模型：数学公式、方案等2)基本模型，要求完整，正确，简明,3（2）简化模型,1）要明确说明简化思想及依据2）简化后模型，尽可能完整给出,3（3）模型要实用，有效，有特色，以解决问题有效为原则。,数学建模面临的、要解决的是实际问题，较复杂的问题，力求简单化不追求数学上：高（级）、深（刻）、难（度大）。能用初等方法解决的，就不用高级方法能用简单方法解决的，就不用复杂方法能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。对较简单的问题，做出自己的特色，你想如果自己能做，别人也能这样做，只有比赛各自的创新。人无我有，别人想不到的，大胆去想人有我新，别人容易想到的，我比你想得更全面，更好,3（4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异,数模创新可出现在建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等，模型求解中结果表示、分析、检验，模型检验推广部分,3（5）在问题分析推导过程中，需要注意的问题：,分析：中肯、确切术语：专业、内行原理、依据：正确、明确表述：简明，关键步骤要列出，可将公式与中文说明相结合忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。,4模型求解,（1）需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密。能用定理总结的，尽量给出定理，并证明（很专业）（2）需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称（3）计算过程，中间结果可要可不要的，如果篇辐大的，不要列出。（4）设法算出合理的数值结果。,5结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示,（1）最终数值结果的正确性或合理性是第一位的；（2）对数值结果或模拟结果进行必要的检验。（3）题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；（4）列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；（5）结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析（6）必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确。,5（2）对数值结果或模拟结果进行必要的检验。,结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进；,5（5）结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析,数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式求解方案，用图示更好,6模型评价,优点突出，缺点不回避。改变原题要求，重新建模可在此做。推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。,7参考文献,力求规范，清晰：标号，作者，论文名称，杂志名称或出版社名称，时间（年、月），页例：1赵静，但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2003.62徐茂良，张勇等，矩阵在基金使用计划模型中的应用，成都大学学报(自然科学版)，2005(1):14文中引用文献处，要标出例：资料表明，小型超市的面积一般为120400平方米,3,8附录,较详细的结果，较详细的数据表格，可在此列出。但不要错，错的宁可不列。主要结果数据，应在正文中列出。注：切忌过于冗长的数据列表，因为太多的数据一般应用独立于主程序的数据文件来表示，以免主程序太长,检查答卷的主要三点，把三关：,模型的正确性、合理性、创新性结果的正确性、合理性文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩,三、对分工执笔的同学的要求,执笔者思路清晰，文字流畅通顺，语言优美文章结构层次分明，思想表述明确又简洁摘要、问题重述、模型假设、模型的建立、模型求解、结果分析、检验、模型检验及模型修正、结果表示、模型评价、参考文献、附录各自安排要合理恰当，体现出既专业又中肯,四、关于写答卷前的思考和工作规划,答卷需要回答哪几个问题建模需要解决哪几个问题问题以怎样的方式回答结果以怎样的形式表示每个问题要列出哪些关键数据建模要计算哪些关键数据每个量，列出一组还是多组数要计算一组还是多组数,五、答卷要求的原理,准确科学性条理逻辑性简洁数学美创新研究、应用目标之一，人才培养需要实用建模。实际问题要求。,建模理念：,1.应用意识：要解决实际问题，结果、结论要符合实际；模型、方法、结果要易于理解，便于实际应用；站在应用者的立场上想问题，处理问题。2.数学建模：用数学方法解决问题，要有数学模型；问题模型的数学抽象，方法有普适性、科学性，不局限于本具体问题的解决。3.创新意识：建模有特点，更加合理、科学、有效、符合实际；更有普遍应用意义；不单纯为创新而创新。,2008年北京奥运会地区临时超市点网设计（2004年全国大学生建模比赛A题）,第三部分数学建模案例（奥运场馆问题）,比赛题目：2008年北京奥运会主馆场周边临时商亭网点设计,为了了解观众的购物需求和人流量的规律，假设我们在已经建设好的某运动场，举办了三次运动会，对观众发放问卷调查，采集相关数据，供解题者使用。,2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛场馆的周边地区必须建设一个由小型商亭构建的临时商业网点。我们称之为迷你超市（MS）网，主要满足运动员，观众，游客，工作人员在奥运会期间购物需求，经营食品、旅游用品、奥运纪念品、文体用品和小日用品等等。在比赛场馆周边地区设置这种MS，在地点、大小类型和总量方面，必须满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。显然，这是一个必须用科学的方法解决的问题。,在本题卷中给出了奥运会主要比赛场馆的规划图，是解决上述问题的地理平台。作为真实地图的简化，在本页结构图中仅保留了与上述问题有关的地区，以及相关内容：道路、公交车站、出租车站、自驾车停车场、地铁、餐饮部门等。,并在答卷论文中明确回答以下必答问题：假定每位观众出行平均两次，一次为进出场馆，一次为餐饮。并且出行均采取最短路径。请你依据附录中给出的问卷调查数据所反映的规律，测算图中20个商区内人流量分布（用百分比）。2.请你设计MS类型（可以分两种大小不同规模），在20个商区内的分布（每个商区内不同类型MS的个数），以满足“题目描述”中的三个基本要求。3阐明你的方法的科学性和结果是贴近实际的。,问题：对结构图上标明的比赛场馆周边地区规定的商区（地图上标有A、B、C及编号的黄色填充的区域）内设计网点。,原型的目的：在奥运馆场优化设计临时小超市（MS）,分析结构并抽象出专业模型：,1）对于设计环境抽象出与目的有关的馆场结构图。,2）抽取影响设计MS的主要因素：人流量，因此在以上馆场结构图中，应该存在一个人流分布结构。,3）理解设计的三条原则：满足购物需求、商业上赢利、分布均衡。实质上是在以上两种结构之上加上限制性结构约束。,用自然语言表述了原型及目的涉及的结构以及结构之间的联系，这种专业模型实际上在题目中已经给出，只要理解并再清楚地表述。,建立数学模型：总体模型和每个部分的具体模型,总体结构的数学模型：,调查数据人流动的一般规律（数据模型）,规律发现,+,馆场平面结构,人流量在馆场结构图中的分布（网络流模型）,三条原则的数学模型（约束条件）,+,有约束的整数规划问题,各个部分的数学模型,1）人流动的一般规律的数据模型：用数据挖掘方法，可以找出全部二维和三维关联规则，得到数据模型。,2）将馆场平面结构图和数据模型可以建立由连通道路组成的网络流模型，进而计算出每个商区的人流量分布。,3）建立三项原则的数学模型：满足需求和商业赢利都容易用数学表示。均衡性是十分灵活的特别体现“浅无边，深无底”的命题指导思想。,4）最后给出整数规划问题。,本问题的解决过程基本上划分为三个部分：,A出行规律的数据模型的建立这一部分的目的是通过对三次问卷调查给出的一万条记录的数据进行分析、汇总计算，给出出行与不同类型人流的分布关系，将这些关系数据组成尽可能全面反应相关规律的数据系统。对三次调查的规律一致性给予充分关注，认为一致性规律才是一般性规律，这是很重要的一步分析。,在分析不同的出行与不同类型的人流相关联时，最简单的是采用直观选择可能的相关性使用统计相关分析进行计算。主要的关系都能计算出，但往往不够完整，其中性别与年龄段对出行方式的考虑不足，由于性别对与出行方式中存在着相关性（例如女性乘出租与私车比例较高），这一条比较容易忽略的规则对计算结果是有影响的。因为一般的统计方法需要确定相关性的对象，依赖直观的相关属性的选择，是造成不够完善的一个原因。使用系统的数据挖掘方法，挖掘出所有二维属性相关值，计算出支持度与置性度，才给出完整的数据模型。,共10600条记录，分三次获得。第一次为3500条；第二次为3200条；第三次为3900条。与人流量相关的规则，其平均比率如下：1、性别男：5549条（52.3）女：5051条（47.7）2、年龄：（男女比例基本上为1：1）20以下：1174人（11.1),2030：6150人（58%）,3050：2139人（20.2%）50以上：1137人（10.7）3、交通数据公交：3602人（34）,公交（南北）：1774人；公交（东西）：1828人地铁：4030人（38）,地铁（东）：2006人；地铁（西）：2024人出租车：2010人（19）(男：女1：2)私车：958人（9）(男：女1：2),就餐数据：,购物欲：,性别与消费额：,B、建立数学模型来确定人流量分布数据模型,数学建模中概念的清楚的定义是很重要的，是否注意到人流量是与购物量是不同的概念，可以通过购物欲的数据，把人流量转变为购物量。但是“人流”本身也应该有明确的定义，因为性别不同和年龄段不同造成出行方式的差别和购物欲的差别。因此，将男女性别的人不加区分地统称为“人”的理解造成计算上的误差。在计算人流分布（或购物量分布）的方法上，可以构造许多创造性的数学模型。例如画出路径的网络图，确定最短路径是最普遍使用的方法；对路口节点的分析是很贴近人们出行与购物习惯的；利用了矩阵表示商区节点与出行目标之间关系数据，从而使计算变得简便等等。特别是构造电路模型或水流模型，用于计算人流分布，这种方法实际上就是网络流模型的一些变形和形象化，也可以取得很好的效果。还可以特色地引入购物心理学，适当地修正仅用商圈概念的简单模型，得到一些求人流量的公式，对于更广泛的应用是有意义的。人流分布概率的方法也是普遍有用的，应当说是取得好效果的重要方法。使用直观的图形与表格进行分析也是很重要的方法等等。,假设不考虑年龄段的因素，简化地只考虑性别、饮食习惯、出行方式三维关联规则，从而确定各商区的人流分布百分比如下：,这一部分的目标很明确，根据人流量分布，建立适当的数学规划模型，解出商店的最优分布。但是，建模的方法很多，思想也各不相同。可以用商业盈利的要求设计目标函数使其达到最大。也可以先计算出每个商区的最大消费额，然后在达到最大消费额条件下求成本最小作为优化目标。在目标函数选择上，这两类方法各有千秋。在建立数学规划模型中，最困难的是如何为满足“均衡”性要求而表达约束条件，这是本题在设计时留下的难点，反映“深无底”的命题特色。在众多参赛论文中主要使用的是限制性约束条件，例如限制在每个商区的MS最多个数与最少个数之差达到极小的约束，这样的规划问题比较简单，也能得到比较符合实际的分布，但是对于商圈数量较大或情况比较复杂的问题，这类约束的想法显得过于简单。,C、建立数学规划模型,原始分布,改变后分布,沙堆模型的平衡效果,分布均衡,改变后分布,原始分布,沙堆模型的平衡效果,改变后分布,原始分布,沙堆模型的平衡效果,沙堆模型的规划模型,目标函数：,约束条件：,设大、小MS最大销售额分别为b1，b2，运营成本分别为c1，c2，场馆内商区个数为n，每个商区大、小MS个数为n1，n2，每个商区最大购买额为p.,运营成本最小,满足购物需求,说明:1商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量，以及购物欲望。2为简化，假定鸟巢（国家体育场）容量10万人，水立方（国家游泳中心）容纳4万人，国家体育馆可容纳6万人。每个看台容1万人，出口对准一个商区，各商区面积相同，图中白色为人行道路。,谢谢大家！,