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1,5.5Hermite插值公式,Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.,为了保证插值多项式能更好地逼近，对增加一些约束条件，例如要求在某些结点处与相切，即具有相同的导数值.,一、Hermite插值问题,求一个次数不大于n+r+1的代数多项式，满足：,-(1),2,称以上的插值问题为Hermite插值问题.,注意：,式(1)包含n+r+2个条件，所以能够确定次数不大于n+r+1的代数多项式.,二、Hermite插值公式推导,令,-(2),其中，都是n+r+1次待定多项式，并且它们满足以下条件：.,3,-(3),-(4),显然满足条件(3),(4)的多项式(2)的次数不大于n+r+1次，且满足插值条件(1).,1.求解,由条件(3)知是的二重零点.,4,且由条件(3)知是的零点.,其中，A,B是待定系数,即,-(5),5,由上述两式解得：,6,将A,B代入式(5)，得,-(6),7,其中，,8,-(7),将C代入式(7)，得,-(8),9,其中，,2.求解,综合(1)(2)得到即式(6),(8),由条件(4)知是的二重零点.,10,且由条件(4)知是的零点.,-(9),将D代入式(9)，得,-(10),11,其中，,由式(2)(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值多项式,其中由式(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值基函数,证明：,12,存在性已由上面推导，下证唯一性.反证法，设插值问题式(1)有两个不同的解令,13,证明：,14,15,-(11),16,-(12),17,例1.,解:,18,作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值,
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