资源描述
解n维单位坐标向量组构成的矩阵,E=(e1，e2，en),是n阶的单位矩阵。由|E|=10，知R(E)=n，即R(E)等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的。,例2已知,试讨论向量组1，2，3及向量组1，2的线性相关性。,解对矩阵（1，2，3）施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵(1，2，3)及矩阵（1，2）的秩，由定理4即可得出结论。,（1，2，3）,=,=,可见R(1，2，3)=2,由定理4知向量组1,2,3线性相关；R(1，2)2，向量组1,2线性无关。,例3已知向量组1,2,3线性无关,令1=1+2,2=2+3,3=3+1,试证向量组1,2,3线性无关。,证设有x1,x2,x3使,x11+x22+x33=0,即x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0,亦即(x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0,因1,2,3线性无关，故有,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解x1=x2=x3=0，所以向量组1,2,3线性无关。,定理5（1）若向量组A:1,2,m线性相关，则向量组B:1,2,m,m+1也线性相关。反言之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。,证:记A=(1,2,m),B=(1,2,m,m+1)有R(B)R(A)+1，若向量组A线性相关，则由定理4有R(A)m,从而R(B)R(A)+1m+1,再由定理4知向量组B线性相关。,由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组必线性相关。特别地，含有零向量的向量组一定线性相关。一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关。,(2)设,(j=1,2,m),即向量j添上一个分量后得向量j,若向量A:1,2,m线性无关,则向量组B:1,2,m也线性无关,反言之,若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.,证记Arm=(1,2,m),B(r+1)m=(1,2,m),有R(A)R(B).若向量组A线性无关，则R(A)=m,从而R(B)m.但R(B)m,故R(B)m，因此向量组B线性无关。,推论若r维的向量线性无关,在r维的向量组每个向量都添上n-r个分量，得n维的向量组，则n维的向量组线性无关。,（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的个数m时一定线性相关。,证m个n维向量1,2,m构成的矩阵Anm=(1,2,m),有R(A)n.,若nm,则R(A)m,故m个向量1,2,m线性相关。,例4设有向量组iT=(ai,ai2,ain),(i=1,2,m.mn),试证向量组1T,2T,mT,线性无关，其中a1,a2,am为m个互不相等且不等于零的常数。,证因为,1T=(a1,a12,a1m,a1n),2T=(a2,a22,a2m,a2n),mT=(am,am2,amm,amn),前m个分量作成的行列式,从而向量组,1T=(a1,a12,a1m),2T=(a2,a22,a2m),mT=(am,am2,amm),线性无关，所以增加分量后所得的向量组1T,2T,mT线性无关。,例5设A是nm矩阵，B是mn矩阵，其中nm，若AB=E，证明B的列向量线性无关。,证设B=(1,2,n)，其中1,2,n是B的列向量，若,x11+x22+xnn=0,即（1,2,n）,=BX=0,两边左乘A得ABX=0，即EX=0，从而X=0，所以1,2,n线性无关。,例6设向量可由向量组1，2，m线性表示，但不能向量组()1，2，,m-1线性表示，记向量组（），1，2，,m-1，则m能由（）线性表示，但不能由()线性表示。,证由于可由1，2，m线性表示，即,11+22+mm,又因为不能向量组1，2，,m-1线性表示，所以m0，从而,故则m能由（）线性表示。,假设m能由()线性表示，则有,mk11+k22+km-1m-1,11+22+mm,11+22+m(k11+k22+km-1m-1),(1+mk1)1+(2+mk2)2+(m-1+mkm-1)m-1,这与不能由()线性表示矛盾，故m不能由()线性表示。,所以,作业128页4、5、8、9。,
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