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数量关系,第八章,第一部分矢量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间形式点,线,面,基本方法坐标法;矢量法,坐标,方程（组）,矢量代数与空间解析几何,四、利用坐标作矢量的线性运算,第一、二节,一、矢量的概念,二、矢量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、矢量的模、方向角、投影,机动目录上页下页返回结束,矢量及空间直角坐标系,第八章,表示法:,一、矢量的概念,矢量:,(又称向量).,既有大小,又有方向的量称为矢量,有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束,规定:零矢量与任何矢量平行;,记作,矢量的模:,矢量的大小,表示法:,矢量的模:,矢量的大小,一、矢量的概念（旧版）,矢量:,(又称向量).,既有大小,又有方向的量称为矢量,自由矢量:,与起点无关的矢量.,单位矢量:,模为1的矢量,零矢量:,模为0的矢量,有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束,二、矢量的线性运算,1.矢量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,机动目录上页下页返回结束,2.矢量的减法,三角不等式,二、矢量的线性运算（旧版）,1.矢量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个矢量相加.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,3.矢量与数的乘法,是一个数,规定:,总之:,机动目录上页下页返回结束,例1.设M为,解:,定理1.,设a为非零矢量,则,(为唯一实数),取,且,再证数的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,机动目录上页下页返回结束,依定义显然成立。,向量的单位化：,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点O,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,机动目录上页下页返回结束,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点M的坐标),原点O(0,0,0);,机动目录上页下页返回结束,向径(矢径):,起点为原点的矢量.,坐标轴:,坐标面:,机动目录上页下页返回结束,2.矢量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点M,则,沿三个坐标轴方向的分矢量.,的坐标为,机动目录上页下页返回结束,四、利用坐标作矢量的线性运算,设,则,平行矢量对应坐标成比例:,机动目录上页下页返回结束,已知两点,机动目录上页下页返回结束,B,A,以任意两点为起终的向量如何用坐标表达呢？,作出A,B两点对应的矢径，则,例2.,一向量的终点在点B(2,-1,7)，,解:,设A(x,y,z),它的矢量坐标表,达为,求起点坐标。,例3.已知两点,在AB直线上求一点M,使,解:设M的坐标为,如图所示,及实数,得,即,机动目录上页下页返回结束,说明:由,得定比分点公式:,点M为AB的中点,于是得,中点公式:,机动目录上页下页返回结束,五、矢量的模、方向角、方向余弦,1.矢量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,机动目录上页下页返回结束,例4.求证以,证:,即,为等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,为顶点,机动目录上页下页返回结束,例5.在z轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?,离的点.,机动目录上页下页返回结束,例5.在z轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,离的点.,机动目录上页下页返回结束,例6.已知两点,和,解:,求,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例6.已知两点,和,解:,求,机动目录上页下页返回结束,2.方向角与方向余弦,设有两非零矢量,任取空间一点O,称=AOB(0)为矢量,的夹角.,类似可定义矢量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,机动目录上页下页返回结束,方向余弦的性质:,机动目录上页下页返回结束,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算矢量,机动目录上页下页返回结束,例8.设点A位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点A的坐标.,则,因点A在第一卦限,故,于是,故点A的坐标为,向径OA与x轴y轴的夹,第二节目录上页下页返回结束,参考题,解:因,1.设,求矢量,在x轴上的投影及在y,轴上的分矢量.,在y轴上的分矢量为,故在x轴上的投影为,机动目录上页下页返回结束,2.,设,求以矢量,行四边形的对角线的长度.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,机动目录上页下页返回结束,
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