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第8.6节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,2.对坐标的曲面积分,第八章,(1)曲面的侧,假定曲面是光滑的,且所考虑的曲面是双侧的.,曲面为非封闭：,分上侧与下侧；,分右侧与左侧；,分前侧与后侧.,曲面为封闭曲面：分外侧与内侧.,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,上页下页,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),上页下页,(2)有向曲面,对于双侧曲面,我们给它规定正侧与负侧.,作为正侧,记作,那么另一侧就是负侧,记作-.,选定某侧,对于有上下两侧的曲面,以上侧作为正侧.,通常规定正侧为：,夹角为锐角的一侧为正侧;,即规定,对于有左右两侧的曲面,以右侧作为正侧.,即规定,为锐角的一侧为正侧;,上页下页,对于有前后两侧的曲面,以前侧作为正侧.即规定,为锐角的一侧为正侧;,对于封闭曲面,以外侧为正侧,即规定曲面上任意,其方向用法向量指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧,外侧内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,上页下页,设为有向曲面,其面元,在xoy面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,上页下页,(3)有向曲面在各坐标面上的投影,曲线在坐标平面上的投影曲线所围成的区域.,对有向曲面,规定其正侧投影为正的,负侧投影是负的.,一张曲面在坐标平面上的投影区域是指它的边界,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面的流量.,分析:若是面积为S的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,上页下页,对一般的有向曲面,用“分割,近似代替,求和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,上页下页,设为光滑的有向曲面,在上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对的任,上页下页,2.定义.,引例中,流过有向曲面的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,上页下页,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用表示的反向曲面,则,上页下页,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是上的连续函数,则,上页下页,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面取下侧,则,上页下页,对坐标的曲面积分计算步骤：,一投:将积分曲面投向曲面积分中已指定的坐标面;,二代:将曲面的方程化为投影面上两个变量的显函数，,三定号:依的侧决定二重积分前的正负号.,(2)计算二重积分,(1)化为二重积分,一投、二代、三定号,再将此显函数代替被积函数中的另一变量;,解:把分为上下两部分,思考:下述解法是否正确:,例1.计算曲面积分,其中为球面,的外侧在第一和第八卦限部分.,上页下页,一投:,取上侧,取下侧,上页下页,三定号,例2.计算,其中是以原点为中心,边长为a的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,上页下页,练习.设是有向曲面,其法向量与z轴正向的夹角为锐角，求,解先计算,一投:,曲面在yoz坐标面上的投影,区域为,由,解得,把有向曲面分成,两部分:,取后侧;,取前侧.,二代：,上页下页,三换：,化为二次积分,上页下页,所以,曲面在xoy坐标面上的投影,区域为,下面计算,取上侧,上页下页,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,上页下页,由此可得：,上页下页,例3.设,是其外法线与z轴正向,夹成的锐角,计算,解:,上页下页,例4.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面z=0,及z=2之间部分的下侧.,上页下页,原式=,上页下页,是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,提示:,求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,练习设,上页下页,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,上页下页,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与,上页下页,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(3)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,(2)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),上页下页,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.,上页下页,思考与练习,1.P263题1,提示:设,则,取上侧时,取下侧时,上页下页,作业P2561(1),(4);2(1),(3),(5);3,上页下页,备用题求,取外侧.,解:,注意号,其中,上页下页,利用轮换对称性,
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