matlab教学ppt第四章.ppt

杨惠-matlab语言及应用-第四章,第四章、数值计算,杨惠-matlab语言及应用-第四章,内容提要,1、矩阵的相关计算2、线性方程组的解3、多项式和卷积4、拟合与插值5、matlab的泛函指令6、符号计算,4.1矩阵的相关计算,Matlab的相关指令：det(A)inv(A)rank(A)d=eig(A)V,D=eig(A),求矩阵A的行列式,求矩阵A的逆,求矩阵的秩计算A的特征值，以向量形式存放（d）计算A的特征向量阵V和特征值对角阵D,例题开讲,计算A的逆矩阵、特征值及特征向量？,det(A)inv(A)rank(A)d=eig(A)V,D=eig(A),4.2线性方程组的解,关于线性方程组的解法一般可以分为两类：,（2）迭代法：是用某种极限过程去逐渐逼近方程组精确解的方法，适用于解大型稀疏矩阵方程组。,（1）直接法：通过矩阵的变形、消去直接得到方程的解，适用于解低阶稠密矩阵（阶数大约150）方程组。,1、利用左除运算符的直接解法2、利用矩阵求逆的方法求解线性方程组,1、jacobi迭代法2、Gauss-Serdel迭代法3、超松弛迭代法4、两步迭代法,杨惠-matlab语言及应用-第四章,4.2线性方程组的解,在matlab中，线性方程组的直接求解方法：矩阵除法,例：求解下列方程组。,在matlab命令窗中的指令是：a=0.40960.2943;0.17840.3927;b=0.40430.15500.4240-0.2557;X=ab,求解下列线性方程组：（矩阵求逆法）,在matlab命令窗中的指令是：a=0.40960.2943;0.17840.3927;b=0.40430.15500.4240-0.2557;X=inv(a)*b,4.3多项式计算,1、多项式的表示：MATALB中，用一个向量来表示多项式。这个向量中按照降幂的顺序排列多项式的各项系数。,在MATLAB中为：p=1,0,-2,5;,说明：如果多项式中缺某幂次项，则认为该项的系数为零。,4.3多项式计算,2、多项式的四则运算：,1、Matlab没有提供专门的多项是加减运算函数。依靠加减运算符直接完成,2、多项式乘法运算conv(p1,p2),3、多项式除法运算Q,r=deconv(p1,p2),p1=conv(p2,Q)+r,杨惠-matlab语言及应用-第四章,例题开讲,4.3多项式计算,3.多项式值的计算：,y=polyval(p,x);,y=polyvalm(p,x);,功能：按数组运算规则计算多项式的值。其中x可以是标量和数组。,功能：按矩阵运算规则计算多项式的值。其中x必须为方阵。,杨惠-matlab语言及应用-第四章,例题开讲,P=231;X=123;321;213;,y=polyval(P,X),y=polyvalm(P,X),y=2*X.*X+3*X+ones(size(X),y=2*X*X+3*X+eye(size(X),4.3多项式计算,4、多项式的根,R=roots(P),功能：计算多项式P的根。,P=1-6-72-27;R=roots（P）,4.3多项式计算,有理多项式的部分分式展开：,r,p,k=residue(b,a);,有理多项式有两种表示方法：,b,a=residue(r,p,k);,4.3多项式计算,6.多项式求导,q=polyder(p);,具体用法:(1)q=polyder(p)可以得到多项式p的导数。,(2)q=polyder(a,b)可以求出多项式a,b之积的导数。,(3)p,q=polyder(b,a)可以求出多项式之比b(s)/a(s)的导数。,1、矩阵的相关计算2、线性方程组的求解3、多项式和卷积,Matlab的相关指令：det(A)inv(A)rank(A)d=eig(A)V,D=eig(A),1、利用左除运算符的直接解法2、利用矩阵求逆的方法求解线性方程组,Matlab的相关指令：conv(p1,p2)q,r=deconv(p1,p2)y=polyval(p,x)y=polyvalm(p,x)roots(p)r,p,k=residue(b,a)b,a=residue(r,p,k)q=polyder(p)q=polyder(a,b)p,q=polyder(b,a),review,4.3多项式计算,7.多项式曲线拟合,p=polyfit(x,y,n);,4.4拟合与插值,在matlab中实现最小二乘法拟合通常可以采用如下两种途径：（1）利用polyfit函数进行多项式拟合。（2）利用矩阵除法解决复杂型函数的拟合。,4.4拟合与插值,p=polyfit(x,y,n);,%给定数据对x0=0:0.1:1;y0=-.44,1.97,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22;%求拟合多项式系数n=3;P=polyfit(x0,y0,n)%图示拟合情况xx=0:0.01:1;yy=polyval(P,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20),xlabel(x),拟合：寻找一条“平滑”曲线来最好的表现带噪声的“测量数据”。但并不要求拟合曲线穿过这些“测量数据”点。,4.4拟合与插值,插值：是在认定所给“基准数据”完全正确的情况下，研究如何“平滑”的估算出“基准数据”之间其它点的函数值。因此，插值所得曲线一定穿过“基准数据”。,%给定数据对x0=0:0.1:1;y0=-.44,1.97,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22;%采用三次多项式进行插值xi=0:0.02:1;yi=interp1(x0,y0,xi,cubic);%绘图plot(xi,yi,-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20),xlabel(x),4.4拟合与插值,其中:(1)x,y是测量数据对；(2)xs是需要内插的点所构成的向量。(3)method是指所使用的内插方法。,ys=interp1(x,y,xs,method);,说明：interp1仅是插值指令的一种，还有interp2、interp3等。,插值算法：nearest，linear，spline，cubic,4.4拟合与插值,1）最邻近插值方法（nearest）,插值点的值与其最邻近的点的函数值相等。,*,*,*,*,*,4.4拟合与插值,2）线性插值方法（linear）,插值点的值在前，后两个数据点所构成的直线上。,*,*,*,*,*,4.4拟合与插值,3）三次样条插值方法(spline),利用一系列样条函数获得内插数据点，从而确定已有数据点之间的函数。,4）三次曲线内插方法（cubic）,构造三次曲线函数来拟合已知数据x、y，从而确定内插点的值。,4.4拟合与插值,说明:1、四种插值方法中，x中的数据是单调但不一定距均匀的。2、若已知x为均匀的，则在method前加*，可使执行速度加快。3、按nearestlinearcubicspline的顺序，对内存要求从小到大，执行速度由快到慢，平滑度由差到好。,给出概率积分的数据如下表所示：,x=0.46:0.01:0.49;f=0.48465550.49375420.50274980.5116683;formatlonginterp1(x,f,0.472)interp1(x,f,0.472,nearest)interp1(x,f,0.472,spline)interp1(x,f,0.472,cubic)formatshort,4.5matlab的泛函指令,主要内容：1、数值积分2、解微分方程,在matlab中，凡是以“函数”为输入宗量的指令，都被统称为matlab的泛函指令。,q=quad(fun,a,b)q=quadl(fun,a,b),t,y=ode45(fun,tspan,y0),被处理“函数”fun可以有三种形式：（1）字符串表达式（2）内联函数（3）“M函数文件”的函数句柄,4.5.1数值积分,例：求以下的定积分。其精确值为0.7468204,%（1）使用字符串表示被处理函数fun=exp(-x.*x);,%（2）调用积分指令求积分值E1=quad(fun,0,1)E2=quadl(fun,0,1),区别：求数值积分是采取不同的方法,4.5.2常微分方程求解,例：求下列微分方程在初始条件x(0)=1,dx(0)/dt=0下的解。,（1）将高阶微分方程改写成一阶微分方程令y1=x,y2=dx/dt,于是二阶微分方程可以改写成如下的一阶微分方程组,设u=2,%(2)根据一阶微分方程组编写M函数文件dydt.mfunctionydot=dydt(t,y)mu=2;ydot=y(2);mu*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,%(3)结算微分方程tspan=0,30;y0=1;0;tt,yy=ode45(dydt,tspan,y0)tt,yy=ode45(dydt,tspan,y0),杨惠-matlab语言及应用-第四章,例题开讲,例：微分方程组当t=0时，x1(0)=1,x2(0)=-0.5,求微分方程在t0，25上的解。,functiondx=equationy(t,x)dx=-x(1)+0.5;x(1)-4*x(2);,x0=1;-0.5;tspan=0,25;T,X=ode45(equationy,tspan,x0),4.6符号计算,1、符号对象和符号表达式,2、符号微积分,4.6符号计算,4.6.1、符号表达式的生成,规定：（1）在定义符号运算时，首先要定义基本的符号对象，然后用这些基本符号对象去构成新的表达式，进而从事所需的符号运算。（2）在运算中，凡是包含符号对象的表达式所生成的衍生对象也都是符号对象。,生成方式：指令sym、syms,4.6符号计算,符号对象的建立：符号变量名=sym(符号字符串)symsargv1argv2argvk,常量、变量、函数或表达式,例题开讲,例一：a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);x=5;y=-8;z=11;w=a*a+b*b+c*cw=x*x+y*y+z*z,例二：symsxh;y=sym(h*2*sin(x)*cos(x)y=simple(y),按规则把已有的y符号表达式化为最简形式,例二：pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(3);pi2=pi;r1=8;r2=3;sin(pi1/3)sin(pi2/3)sqrt(k1+sqrt(k2)sqrt(r1+sqrt(r2),例题开讲,例题开讲,例：求以下矩阵的行列式值、逆和特征根。,symsa11a12a21a22;A=a11,a12;a21,a22DA=det(A)IA=inv(A)EA=eig(A),4.6符号计算,建立符号表达式：1）利用单引号生成2）用sym函数建立符号表达式3）使用已经定义的符号变量组成符号表达式,y=1/sqrt(2*x)U=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6),symsxy;V=3*x2-5*y+2*x*y+6,4.6符号计算,4.6.2符号极限,limit(F,x,a)limit(F),计算符号表达式F在xa条件下的极限值,计算a=0时的极限,symsxath;limit(sin(x)/x)limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf),4.6符号计算,4.6.3符号积分,intf=int(f,v)intf=int(f,v,a,b),给出f对指定变量v的不定积分,给出f对指定变量v的定积分,说明：当f是矩阵时，积分将对矩阵中的元素逐个进行。,例：求,symsabx;f=a*x,b*x2;1/x,sin(x);int(f)%pretty(int(f),4.6符号计算,4.6.4符号微分,f=diff(f,v,n),求,symsatx;f=a,t3;t*cos(x),log(x);df=diff(f)%求矩阵f对x的导数dfdt2=diff(f,t,2)%求矩阵f对t的二阶导数dfdxdt=diff(diff(f,x),t)%求二阶混合导数,例：,4.5.1求函数的零点,例：求以下函数的零点。,z,f-z,exitflag=fzero(fun,x0,option,p1,p2),零点初始猜测值,向函数fun传递的参数,P1=0.1;P2=0.5;y_C=sin(x).2.*exp(-P1*x)-P2*abs(x);x=-10:0.01:10;Y=eval(y_C);plot(x,Y,r);holdonplot(x,zeros(size(x),k);xlabel(t);ylabel(y(t)holdoffzoomontt,yy=ginput(5);zoomoffttt4,y4,exitflag=fzero(y_C,tt(4),P1,P2),%（2）作图法观察函数零点分布x=-10:0.01:10;%对自变量采样，采样步长不宜太大。Y=eval(y_C);%在采样点上计算函数plot(x,Y,r);holdon,plot(x,zeros(size(x),k);xlabel(t);ylabel(y(t),holdoff,%(3)利用zoom和ginput指令获得零点的初始近似值zoomon%在MATLAB指令窗中运行，获局部放大图tt,yy=ginput(5);zoomoff%在MATLAB指令窗中运行，用鼠标获零点猜测值。tt,%（4）求靠近tt(4)的精确零点t4,y4,exitflag=fzero(y_C,tt(4),P1,P2),%（1）使用字符串表示被处理函数P1=0.1;P2=0.5;%按泛函指令要求，这里参数必须用P1,P2表示y_C=sin(x).2.*exp(-P1*x)-P2*abs(x);%这里自变量必须用x表示,