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第三章变量与函数3.4二次函数,中考数学(浙江专用),1.(2018杭州,9,3分)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数),甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁,考点一二次函数解析式,A组2014-2018年浙江中考题组,五年中考,答案B假设甲和丙发现的结论正确,则解得该函数的解析式为y=x2-2x+4.若-1是方程x2+bx+c=0的一个根,则x=-1是函数y=x2+bx+c的一个零点,当x=-1时,y=x2-2x+4=70,乙发现的结论不正确.当x=2时,y=x2-2x+4=4,丁发现的结论正确.四位同学中只有一位发现的结论是错误的,假设成立.故选B.,2.(2017宁波,10,4分)抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,答案Ay=x2-2x+m2+2,y=(x-1)2+m2+1.抛物线的顶点坐标为(1,m2+1).又10,m2+10,顶点在第一象限.故选A.,思路分析根据配方法得出顶点坐标,从而判断出顶点所在的象限.,3.(2017绍兴,8,4分)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使纸上的点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使纸上的点与点C重合,则此时抛物线的函数表达式变为()A.y=x2+8x+14B.y=x2-8x+14C.y=x2+4x+3D.y=x2-4x+3,答案A如图,A(2,1),则可得C(-2,-1).一点从A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4个单位,向下平移2个单位,则所求表达式为y=(x+4)2-2=x2+8x+14,故选A.,4.(2015宁波,11,4分)二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段位于x轴的上方,则a的值为()A.1B.-1C.2D.-2,答案A因为函数y=a(x-4)2-4(a0)图象的对称轴是x=4,又因为在2x3时函数图象在x轴下方,所以在5x6时函数图象也在x轴下方,又因为在60,且当x=2时,y1,即4a-2+21,即a.综上所述,a-1或a0B.若m1,则(m-1)a+b0D.若m0,则当x1时,y随x的增大而减小D.若a0,即函数图象与x轴有两个交点,错误;选项C,二次函数y=ax2-2ax-1图象的对称轴为x=1,若a0,则抛物线开口向上,当x1时,y随x的增大而增大,错误;选项D,二次函数y=ax2-2ax-1图象的对称轴为x=1,若a0时,图象与x轴有两个交点;当=0时,图象与x轴有一个交点;当0,-0,又二次函数y=ax2+bx的图象的对称轴为x=-,所以y=的“派生函数”的图象的对称轴只能在y轴左侧,故命题(1)是假命题;当x=0时,y=ax2+bx=0,函数y=的所有“派生函数”的图象都经过同一点(0,0),命题(2)是真命题.故选C.,8.(2016嘉兴,10,4分)已知二次函数y=-(x-1)2+5,当mxn且mn0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为()A.B.2C.D.,答案D由mn0得,m,n异号,结合mxn,得m为负数,n为正数.二次函数y=-(x-1)2+5的图象的开口向下,对称轴为x=1,y最大=5.对于mxn,当0n1时,在x=n处y取最大值2n,即2n=-(n-1)2+5,解这个方程得n=2(不满足00;若a=-1,则b=4;抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x12,则y1y2;点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴和y轴上,当m=2时,四边形EDFG周长的最小值为6.其中真命题的序号是()A.B.C.D.,答案Cy=-x2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2,可知抛物线对称轴为直线x=1.当xb时,y2,且x1y2.故正确.当m=2时,y=-(x-1)2+4,D(1,4),E(2,3).又G,F分别在x轴和y轴上,由轴对称的性质可得,D(1,4)关于y轴的对称点为D(-1,4),E(2,3)关于x轴的对称轴为点E(2,-3),连接DE与x轴交于点G,与y轴交于点F,此时四边形EDFG的周长最小.D(-1,4),E(2,-3),DE=,又DE=,四边形EDFG的周长的最小值=DE+DE=+,故错.故选C.,关键提示此题考查了二次函数的图象和性质及轴对称的性质,确定最短周长的问题中找到符合条件的点G,F是关键.,12.(2014嘉兴,10,4分)当-2x1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1可取到的最大值为4,则实数m的值为()A.-B.或-C.2或-D.2或-或-,答案C由已知得,二次函数图象的对称轴为直线x=m,若m1,则当x=1时,y取最大值,则-(1-m)2+m2+1=4,解得m=2.综上所述,m的值为2或-.故选C.,13.(2014宁波,12,4分)已知点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10),答案D点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,(a-2b)2+4(a-2b)+10=2-4ab,a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab,(a+2)2+4(b-1)2=0,a+2=0,b-1=0,解得a=-2,b=1,a-2b=-2-21=-4,2-4ab=2-4(-2)1=10,点A的坐标为(-4,10).对称轴为直线x=-=-2,点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为(0,10).故选D.,14.(2018湖州,15,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是.,答案-2,解析四边形ABOC是正方形,AO与BC相互垂直平分且相等.抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-,点B的坐标为.把B的坐标代入y=ax2中,得-=a,即b2+2b=0,b0,b=-2.故b=-2.,15.(2015衢州,16,4分)如图,已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线y=-x2+2x+5的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是.,答案-1或4或4+2或4-2,解析P是抛物线上一动点,Q在直线y=-x+3上,当PQ=BQ时,P,Q所在位置不唯一,有如图所示4种情况.设点P的坐标为,则点Q为,又易知点B为(0,3),BQ=|a|,PQ=,PQ=BQ,|a|=,即-a2+a+2=a或-a2+a+2=-a,整理得a2-3a-4=0或a2-8a-4=0,解得a1=-1,a2=4,a3=4+2,a4=4-2.,思路分析设出点P的坐标,进而表示出PQ、BQ的长度,然后根据PQ=BQ列方程求解.,16.(2018温州,21,10分)如图,抛物线y=ax2+bx(a0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.(1)求a,b的值;(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,OBP的面积为S,记K=,求K关于m的函数表达式及K的范围.,解析(1)将x=2代入y=2x,得y=4,M(2,4),由题意得(2)如图,过点P作PHx轴于点H,点P的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x2+4x,PH=-m2+4m.,B(2,0),OB=2,S=OBPH=2(-m2+4m)=-m2+4m,K=-m+4,K随着m的增大而减小.易得A(4,0),又M(2,4),2m4.0K2.,思路分析(1)根据已知求得点M(2,4),由点M为抛物线的顶点列出关于a、b的方程组,求解即;(2)作PHx轴于H,根据三角形的面积公式求得S=-m2+4m,根据K=可得K关于m的函数解析式,再结合点P的位置得出m的范围,利用一次函数的性质可得结果.,方法总结本题主要考查抛物线的性质,解题的关键是用待定系数法求抛物线解析式及一次函数的性质的应用.,17.(2018金华,22,10分)如图,抛物线y=ax2+bx(a0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上,设A(t,0),当t=2时,AD=4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.,解析(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10).当t=2时,AD=4,点D的坐标为(2,4),4=a2(2-10),解得a=-,抛物线的函数表达式为y=-x2+x.(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,AB=10-2t.当x=t时,AD=-t2+t.矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2=-(t-1)2+.-0,当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值是.(3)当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4),矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2).,当平移后的抛物线过点A时,点H的坐标为(4,4),此时GH不能将矩形面积平分.当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形面积平分.当G,H中有一点落在线段AD或BC上时,直线GH不可能将矩形面积平分,当点G,H分别落在线段AB,DC上时,直线GH过点P,必平分矩形ABCD的面积.ABCD,线段OD平移后得到线段GH,线段OD的中点Q平移后的对应点是P.在OBD中,PQ是中位线,PQ=OB=4.抛物线向右平移的距离是4个单位.,18.(2017杭州,22,12分)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a-1),其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表达式;(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上.若mn,求x0的取值范围.,解析(1)由题意知(1+a)(1-a-1)=-2,即a(a+1)=2,因为y1=x2-x-a(a+1),所以y1=x2-x-2.(2)由题意知,函数y1的图象与x轴交于点(-a,0)和(a+1,0).当y2的图象过点(-a,0)时,得a2-b=0;当y2的图象过点(a+1,0)时,得a2+a+b=0.(3)由题意知,函数y1的图象的对称轴为直线x=,所以点Q(1,n)与点(0,n)关于直线x=对称.又因为函数y1的图象开口向上,所以当mn时,0x01.,关键提示解决第(3)问需确定函数y1图象的对称轴和开口方向.,19.(2015温州,23,12分)如图,抛物线y=-x2+6x交x轴正半轴于点A,顶点为M,对称轴MB交x轴于点B,过点C(2,0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方),OECD交MB于点E,EFx轴交CD于点F,作直线MF.(1)求点A,M的坐标;(2)当BD为何值时,点F恰好落在该抛物线上?(3)当BD=1时,求直线MF的解析式,并判断点A是否落在该直线上;延长OE交FM于点G,取CF中点P,连接PG,FPG,四边形DEGP,四边形OCDE的面积分别记为S1,S2,S3,则S1S2S3=.,解析(1)令y=0,则-x2+6x=0,解得x1=0,x2=6,A(6,0),对称轴是直线x=3,M(3,9).(2)OECF,OCEF,C(2,0),EF=OC=2,BC=1.点F的横坐标为5.点F落在抛物线y=-x2+6x上,F(5,5),BE=5.=,DE=2BD,BE=3BD,BD=.(3)当BD=1时,BE=3,F(5,3).设MF的解析式为y=kx+b,将M(3,9),F(5,3)代入,得解得,y=-3x+18.当x=6时,y=-36+18=0,点A落在直线MF上.348.,评析本题主要考查二次函数与几何问题的综合,主要涉及二次函数图象与坐标轴的交点坐标,点是否在抛物线上,函数与方程综合等知识点.,20.(2014绍兴,22,12分)如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称p,q为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是2,3.(1)若一个函数的特征数为-2,1,求此函数图象的顶点坐标;(2)探究下列问题:若一个函数的特征数为4,-1,将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,求得到的图象对应的函数的特征数;若一个函数的特征数为2,3,问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为3,4?,解析(1)由题意得特征数为-2,1的函数解析式为y=x2-2x+1=(x-1)2,函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)特征数为4,-1的函数为y=x2+4x-1,即y=(x+2)2-5,函数图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,平移后的解析式为y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3,特征数为2,-3.特征数为2,3的函数为y=x2+2x+3,即y=(x+1)2+2,特征数为3,4的函数为y=x2+3x+4,即y=+,所求平移为先向左平移个单位,再向下平移个单位.,评析本题是新定义下的二次函数图象的平移问题,考查了学生的阅读和理解能力,难度适中.,1.(2015金华,8,3分)图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥拱可以近似看成抛物线y=-(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有ACx轴.若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为()A.16米B.米C.16米D.米,考点三二次函数综合,答案B把x=-10代入y=-(x-80)2+16得,y=-,故选B.,2.(2016台州,16,5分)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数.小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球.假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度.第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=.,答案1.6,解析各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,设这个最大高度为h,又设小球抛出后时间为x秒,高度为y,则y=a(x-1.1)2+h.由题意,得a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.故填1.6.,方法指导先构建二次函数,再利用方程思想解决问题.,3.(2017温州,16,5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1).完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A、出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A到出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm的圆柱形水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm.,答案24-8,解析如图所示,建立直角坐标系,过A作AGOC于G,交BD于Q,过M作MPAG于P,由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,在RtAPM中,MP=8,故DQ=OG=MP=8,BQ=12-8=4,由BQCG可得,ABQACG,=,即=,CG=12,OC=12+8=20,C(20,0),水流所在抛物线经过点D(0,24),可设抛物线为y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线解析式,可得解得抛物线的解析式为y=-x2+x+24,又点E的纵坐标为10.2,令y=10.2,则10.2=-x2+x+24,解得x1=6+8,x2=6-8(舍去),点E的横坐标为6+8,又ON=30,EH=30-(6+8)=24-8.,即点E到洗手盆内侧的距离EH为(24-8)cm.,思路分析先建立合适的平面直角坐标系,再作辅助线构造相似三角形,由此可求得C点坐标,进而结合D、B坐标确定抛物线的表达式,从而得到点E的坐标,求得EH.,4.(2016衢州,15,4分)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为m2.,答案144,解析如图,设总占地面积为Sm2,CD的长度为xm,由题意知AB=CD=EF=GH=xm,BH=(48-4x)m,易知00,a+b0,相加得2a0,a0.,思路分析(1)利用判别式进行判断.(2)当x=1时,y=0,所以函数图象不过点C,故图象过点A、B,将A、B两点坐标分别代入函数表达式,解方程组即可.(3)用a、b表示m,由m的范围结合a+b0.,方法总结本题考查了二次函数图象的性质及数形结合思想.解答时,注意将相关的点的坐标代入表达式.,6.(2018温州,23,10分)温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品,每人每天生产2件甲或1件乙,甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验,乙产品每天产量不少于5件,当每天生产5件时,每件可获利120元,每增加1件,当天平均每件利润减少2元.设每天安排x人生产乙产品.(1)根据信息填表:,(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元,求每件乙产品可获得的利润;(3)该企业在不增加工人的情况下,增加生产丙产品,要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一种产品),丙产品每件可获利30元,求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值.,解析(1)由已知得,每天安排x人生产乙产品时,生产甲产品的有(65-x)人,共生产甲产品2(65-x)件,在乙产品每件获利120元的基础上,增加(x-5)件乙产品,则当天平均每件获利减少2(x-5)元,则乙产品的每件利润为(130-2x)元.(2)由题意得152(65-x)=x(130-2x)+550,x2-80 x+700=0,解得x1=10,x2=70(不符合题意,舍去),130-2x=110,每件乙产品可获得的利润是110元.(3)设生产甲产品的工人有m人,则W=x(130-2x)+152m+30(65-x-m)=-2(x-25)2+3200.2m=65-x-m,m=.x、m都是非负整数,取x=26,此时m=13,65-x-m=26,即当x=26时,W最大值=3198.安排26人生产乙产品时,可获得的总利润最大,为3198元.,思路分析(1)根据题意列代数式即可;(2)根据(1)中数据表示出每天生产甲、乙产品获得的利润,根据题意列方程即可;(3)根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式,用x表示出总利润,利用二次函数的性质求最值.,7.(2018嘉兴,23,10分)已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5-(x-b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围.(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在AOB内,若点C,D都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.,解析(1)点M坐标是(b,4b+1),把x=b代入y=4x+1中,得y=4b+1,点M在直线y=4x+1上.(2)如图,直线y=mx+5与y轴交于点B,点B的坐标为(0,5).,图,又B(0,5)在抛物线上,5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2,二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,当y=0时,得x1=5,x2=-1(舍),A(5,0).,观察图象可得,当m+5-(x-b)2+4b+1时,x的取值范围为x5.(3)如图,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,图,解方程组得点E,易得F(0,1),点M在AOB内,0y2;当b=时,y1=y2;当b时,y1y2.,8.(2018衢州,23,10分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后水柱的最大高度.,解析(1)由题意可知抛物线的顶点为(3,5),设y=a(x-3)2+5,将(8,0)代入得a=-,y=-(x-3)2+5(0x0,所以m20.所以m的取值范围是0m20.,11.(2016杭州,22,12分)已知函数y1=ax2+bx,y2=ax+b(ab0).在同一平面直角坐标系中:(1)若函数y1的图象过点(-1,0),函数y2的图象过点(1,2),求a,b的值;(2)若函数y2的图象经过y1的图象的顶点.求证:2a+b=0;当10,01.05.与课本中的例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大.,方法点拨解决面积最值问题一般需建立二次函数模型.,方法总结建立函数模型解决最值问题的基本步骤:(1)选择与问题相关的、简单合适的变量,将这个变量设为未知数;(2)用所设的未知数表示问题所需的边或角;(3)列函数关系式;列函数关系式常用的方法有:用勾股定理列函数关系式;用几何图形的面积公式(三角形的面积公式、平行四边形的面积公式)列函数关系式;用三角形的边角关系和三角函数知识列函数关系式;用相似三角形对应边成比例列出函数关系式.(4)根据函数的增减性求最大或最小值.,13.(2016湖州,23,10分)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M.过点A作ABx轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移m(m0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部(不包括ABC的边界),求m的取值范围;(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与BCD相似,请所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).,解析(1)由二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(3,1),点C(0,4),得解得(2分)二次函数的解析式为y=-x2+2x+4,(3分)由配方,得y=-(x-1)2+5,点M的坐标为(1,5).(4分)(2)设表示直线AC的函数解析式为y=kx+n(k,n都为常数且k0),直线AC过点A(3,1),C(0,4),解得直线AC的函数解析式为y=-x+4.(5分)结合图象,得抛物线的对称轴x=1与ABC两边分别交于点E(1,3),F(1,1),2b+3,即b;若抛物线C2:y2=ax2(a0)与线段AB恰有一个公共点,则a的取值范围是a0的解作为函数C1的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确的结论个数为()A.2B.3C.4D.5,考点二二次函数的图象与性质,答案B抛物线的对称轴为直线x=2,所以正确;抛物线与y轴的交点坐标是(0,2n-1),所以错误;把(-1,2)代入抛物线解析式,可得2n=3-5m,所以抛物线解析式为y1=mx2-4mx+2-5m,因为抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,所以当x=0时,y1,所以正确;由抛物线C1与平行于x轴的直线交于A(-1,2)及结论,可得B(5,2),易知抛物线C2的对称轴为y轴,设A点关于y轴对称的点为E,画图可知,要使抛物线C2与线段AB恰有一个公共点,则抛物线C2与线段EB(不含点E,含点B)恰有一个公共点,当抛物线C2经过点E时,a=2,当抛物线C2经过点B时,a=,所以a0,即y1+10,即y1-1,由图象知y1不一定是正数,所以错误,正确的有,共3个,故选B.,2.(2017内蒙古包头,11,3分)已知一次函数y1=4x,二次函数y2=2x2+2.在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值为y1与y2,则下列关系正确的是()A.y1y2B.y1y2C.y10,b0,c3时,y8a.其中正确的结论是()A.B.C.D.,答案B由已知条件可知a3时,y2,a0,4ac-b28a.故错,正确.故选B.,5.(2017湖北武汉,16,3分)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m3,则a的取值范围是.,答案-3a-2或a,解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得,am2+(a2-1)m-a=0.解得m=,m1=,m2=-a,2m3,23或2-a3,解得a或-3a-2.,思路分析把交点坐标代入二次函数解析式,可得到关于m的一元二次方程,利用公式法将m用含a的式子表示出来,再根据2m3,解不等式即可.,6.(2018内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x-2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.(1)求直线l的解析式;(2)若直线x=m(m0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当ODAC时,求线段DE的长;(3)取点G(0,-1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使BAP=BCO-BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)当y=0时,x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-4.A(-4,0),B(1,0).当x=0时,y=-2,C(0,-2).设直线l的解析式为y=kx+b(k0),解得直线l的解析式为y=-x-2.(3分)(2)ODAC,ADO=90,ADO=AOC=90.DAO=OAC,AODACO.=.AO=4,OC=2,在RtAOC中,AC=2.=,AD=.设直线x=m(m0)与x轴交于点F,则DFOC,=,AF=,OF=OA-AF=,m=-.直线x=m(m0.你认为其中正确的是()A.B.C.D.,考点三二次函数综合,答案D抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(-2,0)、B(1,0),该抛物线的对称轴为x=-0.5,-=-0.5,a=b,a-b=0,正确;抛物线开口向下,且抛物线与x轴交于点A(-2,0)、B(1,0),当-20,正确;点A、B关于x=-0.5对称,AM=BM,又MC=MD,且CDAB,四边形ACBD是菱形,正确;当x=-3时,y0,9a-3b+c0,错误.综上知:正确的结论为.故选D.,2.(2018呼和浩特,25,10分)某市计划在十二年内通过公租房建设,解决低收入人群的住房问题.已知前7年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系构成一次函数(1x7且x为整数),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为和百万平方米;后5年每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系是y=-x+(7143.当x=3时,年租金最大,Wmax=1.47亿元.当x=3时,m=23+36=42.5842=2436元.老张这一年应交租金2436元.,解题关键解决本题的关键是要能从大量的文字信息中提取相关的已知条件,并能列出符合题意的表达式,进而借助二次函数的顶点式(配方法)求出相应的最值.,3.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:,(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?,解析(1)设y=kx+b(k0).由题意,得解得所求函数表达式为y=-2x+200.(4分)(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280 x-8000.(7分)(3)W=-2x2+280 x-8000=-2(x-70)2+1800,其中40x80.-20,当40x70时,W随x的增大而增大;当70x80时,W随x的增大而减小;当售价为70元时,获得最大利润,最大利润为1800元.(12分),4.(2015安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(2)x取何值时,y有最大值?最大值是多少?,解析(1)设AE=a米,由题意,得AEAD=2BEBC,AD=BC,BE=a,AB=a.由题意,得2x+3a+2a=80,a=20-x.(4分)y=ABBC=ax=x,即y=-x2+30 x(0x1时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数.教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.,解析正确.当x=1时,y=-3k,取k=0,得y=0,即存在函数y=-x+1,其图象经过(1,0)点.错误.取k=1,函数y=2x2-5x的图象与坐标轴的交点仅有(0,0)和两个.或取k=0,函数y=-x+1的图象与坐标轴的交点仅有(0,1)和(1,0)两个.所以结论错误.错误.当k0时,抛物线开口向上,且对称轴是直线x=1+.因为1+1,所以当11+时,y随x的增大而增大.所以结论错误.正确.当k0时,函数有最大或最小值,此时y=2k-.,若k0,则抛物线开口向上,当x=1+时,y最小值=-.因为-0,所以y最大值0.解决问题时所用的数学方法:举反例,综合法,配方法,数形结合,转化的方法,分类讨论等.,评析主要考查了函数的性质与过定点问题,属于较难题.,10.(2016北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.当m=1时,求线段AB上整点的个数;若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.,解析(1)y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1.抛物线的顶点坐标为(1,-1).(2)当m=1时,抛物线的表达式为y=x2-2x.令y=0,解得x1=0,x2=2.线段AB上整点的个数为3.当抛物线经过点(-1,0)时,m=.当抛物线经过点(-2,0)时,m=.结合函数的图象可知,m的取值范围为m.,1.(2018安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?,考点三二次函数综合,解析(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60 x+8000,W2=100-(50+x)19=(50-x)19=-19x+950.(6分)(2)W=W1+W2=-2x2+41x+8950=-2+.x取整数,当x=10时,总利润W最大,最大总利润是9160元.(12分),思路分析(1)根据题意分别列出W1,W2关于x的函数表达式;(2)将二次函数的解析式配方,根据x取整数及二次函数的性质求出W的最大值.,2.(2017河南,23,11分)如图,直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角
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