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第六章空间与图形6.1图形的轴对称、平移和旋转,中考数学(广东专用),考点一图形的轴对称,A组2014-2018年广东中考题组,五年中考,1.(2018广东,5,3分)下列所述图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形,答案D圆和菱形都是轴对称图形,也都是中心对称图形,所以A、B都不符合题意;平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形,所以C不符合题意;等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形,故选D.,方法总结本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.如果一个图形绕某一点旋转180后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.,易错警示此类问题容易混淆平行四边形的对称性和特殊平行四边形的对称性.等边三角形的对称性是最容易弄错的,一不小心就会看成中心对称图形.,2.(2018广州,2,3分)如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有()A.1条B.3条C.5条D.无数条,答案C如图所示,五角星的对称轴共有5条.,思路分析根据轴对称图形的定义:“如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”分析、理解题目.,方法总结轴对称图形和中心对称图形是经常考查的考点.考生需要正确理解其概念:轴对称图形是沿直线翻折后直线两旁的部分能够互相重合,中心对称图形是在平面内一个图形绕某个点旋转180后能够与原图形重合.,3.(2017广东,6,3分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.圆,答案D等边三角形和正五边形是轴对称图形,但不是中心对称图形,所以A、C均不正确;平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形,所以B不正确;圆既是轴对称图形又是中心对称图形,故选D.,4.(2017深圳,4,3分)观察下列图形,其中既是轴对称又是中心对称图形的是(),答案DA项既不是中心对称图形,又不是轴对称图形;B项是轴对称图形,但不是中心对称图形;C项既不是中心对称图形,也不是轴对称图形;D项既是轴对称图形又是中心对称图形,故选D.,5.(2016深圳,4,3分)下列图形中,是轴对称图形的是(),答案B根据轴对称图形的概念可知,只有B选项是轴对称图形,C选项为中心对称图形,A、D选项既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故选B.,6.(2015广东,2,3分)下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形,答案A矩形是轴对称图形,也是中心对称图形,A正确;平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形;正五边形和正三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形.,7.(2015深圳,5,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(),答案DA、B、C三项中的图形为轴对称图形,但不是中心对称图形,故选D.,考点二图形的平移,1.(2014茂名,3,3分)下列选项中能由如图所示图形平移得到的是(),答案C平移不改变图形的形状和大小,且对应点的连线平行且相等,所以箭头通过平移后方向不变,故选C.,2.(2016广州,13,3分)如图,ABC中,AB=AC,BC=12cm,点D在AC上,DC=4cm.将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则EBF的周长为cm.,答案13,解析由题可得FC=7cm,EF=DC=4cm,EFDC,EFB=DCF,AB=AC,DCF=ABC,EFB=ABC,EB=EF=4cm,BC=12cm,BF=BC-FC=5cm,EBF的周长为EB+BF+EF=4+5+4=13cm.,考点三图形的旋转,1.(2018深圳,4,3分)下列图形中,中心对称图形是(),答案D正三角形、正五角星和心形都是轴对称图形但不是中心对称图形,故A、B、C都不符合题意;平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线交点,故D正确.,2.(2017广州,2,3分)如图,将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A旋转90后,得到的图形为(),答案A因为DAB=90,AB=AD,所以阴影三角形绕点A顺时针旋转90后,AD与AB重合,阴影三角形的斜边在AB的左侧,故选A.,3.(2016广东,3,3分)下列所述图形中,是中心对称图形的是()A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形,答案B由中心对称图形旋转180后与原图形重合,可知直角三角形、正五边形和正三角形都不是中心对称图形,只有平行四边形是中心对称图形.故选B.,4.(2015广州,2,3分)将如图所示的图案以圆心为中心,旋转180后得到的图案是(),答案D旋转180后得到的图案与原图案关于圆心中心对称,故选D.,5.(2018广东,25,9分)已知RtOAB,OAB=90,ABO=30,斜边OB=4,将RtOAB绕点O顺时针旋转60,如图1,连接BC.(1)填空:OBC=;(2)如图1,连接AC,作OPAC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图2,点M、N同时从点O出发,在OCB边上运动,M沿OCB路径匀速运动,N沿OBC路径匀速运动,当两点相遇时停止运动.已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒,OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值,最大值为多少?(结果分母可保留根号),解析(1)60.(2)根据题意,得OB=OC,BOC=60,OBC为等边三角形,BC=OB=4,在RtOAB中,ABO=30,OA=OB=2,AB=OB=2,在RtABC中,AC=2.sinACB=,sinPAO=sinACB=,sinPAO=,OP=OA=.,(3)当0x时,点M在边OC上,点N在边OB上,ON边上的高为OMsinMON,y=ONOMsinMON=xxsin60=x2.当x=时,y取得最大值.当x4时,如图1,点M在边BC上,点N在边OB上,BM=8-x.图1ON边上的高为BMsinMBN,y=xsin60=x(16-3x)=-+.当x=时,y取得最大值.当4x时,如图2,点M、N均在BC上,图2MN=12-x,MN边上的高等于AB的长,y=MNAB=2=(24-5x).当x=4时,y取得最大值2.综上所述,当x=时,y取得最大值.,思路分析(1)根据旋转的性质知OB=OC,BOC等于60,从而OBC是等边三角形,可得OBC=60.(2)分别求出AO,AB,BC,AC的长,利用ACB=PAO,且其三角函数值也相等求解.(3)首先按点M、N所在的边分三类进行讨论,然后可根据三角形面积公式去求三角形OMN的面积y与时间x的函数关系式,最后求一次函数与二次函数的最值即可.,解后反思本题是代数与几何的综合应用,主要考查了旋转的性质、勾股定理、锐角三角函数、一次函数与二次函数的最值等知识,也考查了分类讨论等解题思想.在解决动态几何问题时,我们通常根据题意确定一个分类标准,例如,根据几何图形的形状、运动对象的相对位置、数量关系的变化趋势等的不同进行分类讨论.难点在于如何“化动为静”,因此画出各个分类的图形对解决问题有着很大的帮助,当图形画出来后,动态几何问题也就转化为静态几何问题了.,6.(2018广州,25,14分)如图,在四边形ABCD中,B=60,D=30,AB=BC.(1)求A+C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.,解析(1)在四边形ABCD中,B=60,D=30,A+C=360-B-D=270.(2)AD2+CD2=BD2.理由:如图,将BCD绕点B逆时针旋转60,得BAD,连接DD.BD=BD,CD=AD,DBD=60,BAD=C.BDD是等边三角形.DD=BD.又BAD+C=270,BAD+BAD=270.DAD=90.AD2+AD2=DD2,即AD2+CD2=BD2.(3)如图,将BEC绕点B逆时针旋转60得BEA,连接EE.,BE=BE,CE=AE,EBE=60,BEC=BEA.BEE是等边三角形.BEE=60.AE2=BE2+CE2,BE=EE,CE=AE,AE2=EE2+AE2.AEE=90.BEA=150.BEC=150.点E在以BC为弦,劣弧BC所对的圆心角为60的圆上.以BC为边在BC下方作等边BCO,则O为圆心,半径BO=1.点E的运动路径为(不包含点B,C),l=.,思路分析(1)由四边形的内角和很容易求出答案.(2)由于AD,BD,CD三者之间比较分散,比较难联系,所以想到把它们搬到一起,由于有AB=BC这个条件,结合“等腰思旋转”,想到通过旋转构造全等,将BCD绕点B逆时针旋转60,得BAD,转移相等的线段和角,易得DAD=90,从而有AD2+CD2=BD2.(3)要求点E运动路径的长度,就要确定点E的运动路径,由AE2=BE2+CE2可顺着(2)的思路同样通过旋转构造全等,将BEC绕点B逆时针旋转60,得BEA,转移相等的线段和角,从而易得BEE=60和AE2=EE2+AE2,可得AEE=90,从而BEC=150,所以点E在以BC为弦,劣弧BC所对的圆心角为60的圆上.问题可解决.,解题关键本题考查四边形内角和、等边三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理、弧长公式等知识,解题的关键是会添加常用辅助线:“旋转出等腰,等腰思旋转”,当出现“共顶点,等线段”结构时,可考虑“造旋转,出全等”,构造全等三角形将分散条件集中在同一个三角形中解决问题.,7.(2015梅州,23,10分)在RtABC中,A=90,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰RtADE绕点A逆时针旋转,得到等腰RtAD1E1,设旋转角为(00.由(1)得,当增大到30时,点A在优弧上,当030时,点A在O内,线段BA与优弧只有一个公共点B.由(2)知,增大到60时,BA与O相切,即线段BA与优弧只有一个公共点B.当继续增大时,点P逐渐靠近点B,但点P,B不重合,OBP90.=OBA+OBP,OBA=30,120.当60120时,线段BA与优弧只有一个公共点B.,综上所述,的取值范围是030或600)作PEx轴,与边OA交于点E(异于点O、A),将四边形ABCE沿CE翻折,点A、B分别是点A、B的对应点.若点A恰好落在直线PE上,则a的值等于()A.B.C.2D.3,答案C如图,连接OB,过A作AHx轴于点H,过B作BGy轴于点G,延长GB,HA,交于点D.B(1,7),OB=5.四边形OABC为正方形,OA=AB=BC=CO=5.易证RtBDARtAHO,则OH=AD,AH=BD,BG=1,HD=7,设OH=x,则AD=x,AH=7-x,BD=x-1.x-1=7-x,解得x=4,OH=4,AH=3,tanAOH=.OP=a,PE=a,OE=a,AE=AE=5-a,AP=AE-PE=5-a-a=5-2a.四边形CBAE是由四边形CBAE翻折得到的,CB=CB=5.设CB交x轴于点F,CBPE,PEx轴,B=A=90,BF=AP=5-2a,CF=2a.易证RtCFORtOHA,CF=OH=4=2a,a=2.,解题关键充分利用轴对称的性质及直角三角形的边、角关系建立关于a的方程.,2.(2017广州天河模拟,10)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当CDE的周长最小时,点E的坐标为()A.(3,1)B.C.D.(3,2),答案B由题意知A(3,0),D,C(0,4).设点D关于AB的对称点为F,则F,连接CF,此时CF与AB的交点即为所求的点E.因为四边形OABC为矩形,所以AEOC,所以FAEFOC,所以=,则EA=.所以E.故选B.,思路分析因为CD为定值,所以只需CE+ED最短.利用轴对称的性质,将点D对称到AB的右侧,变线段ED为EF(F为D关于AB的对称点),再由两点之间线段最短,找出CE+EF最短时的点E.,3.(2016深圳南山联考,8)如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴,y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把CDB旋转90,则旋转后点D的对应点D的坐标是()A.(2,10)B.(-2,0)C.(2,10)或(-2,0)D.(10,2)或(-2,0),答案CD的横坐标为5,纵坐标为3,正方形的边长为5,BD=AB-AD=5-3=2.当顺时针旋转90时,点D落在x轴上,此时点D的坐标为(-2,0);当逆时针旋转90时,D落在第一象限,B的对应点落在y轴上,此时点D的坐标为(2,10),故选C.,思路分析顺时针旋转时,B点落在原点,D点落在x轴的负半轴上;逆时针旋转时,B点落在y轴上,BDx轴.,易错警示思维单一,只考虑一种情况.,二、填空题(每小题4分,共12分),4.(2016深圳模拟,14)如图,矩形ABCD中,AD=4,CAB=30,点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ+QP的最小值是A.10B.8C.5D.6,答案4,解析以CD为轴,将ACD往上翻转180,如图,过点A作AEAC于E点,AE交CD于F点,当Q与F点重合,P与E点重合时,AQ+QP=AF+EF=AE最短,矩形ABCD中,AD=4,CAB=30,ACD=ACD=CAB=30,ACA=60,又AC=AC,ACA为等边三角形,且AA=AC=2AD=8,AE=ACsinACA=8=4.,5.(2017肇庆二模,15)如图1,两个等边ABD,CBD的边长均为1,将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置,得到图2,则阴影部分的周长为.,答案2,解析易知图中的三角形均为等边三角形,所以ED=EH,AG=FG,NH=NC,MF=MB,所以阴影部分的周长等于AD+BC,又AD=BC=1,所以阴影部分的周长为2.,6.(2016清远三模,14)如图所示,点P是AOB外的一点,点M、N分别是AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上,若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为.,答案4.5cm,解析由对称性知MQ=PM=2.5cm,RN=PN=3cm,MN=4cm,NQ=4-2.5=1.5(cm),QR=RN+NQ=3+1.5=4.5(cm).,思路分析关于轴对称的图形,对应线段相等.,解题关键将PM的长转化为MQ的长,将PN的长转化为RN的长.,三、解答题(共29分),7.(2017深圳坪山模拟,22)如图,将ABCD纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处.(1)求证:ABEAGF;(2)连接AC,若ABCD的面积等于8,=,求ACEF的值.,解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,B=D,BAD=BCD.由折叠知AG=CD,EAG=BCD,G=D,AB=AG,BAD=EAG,B=G.BAE=GAF,ABEAGF.(2)连接CF,由(1)易知AE=AF,由折叠知AE=EC,AF=EC,而AFBC,四边形AECF是菱形.ACEF=2菱形AECF的面积.又ABCD的面积等于8,=,AEC的面积=ABCD的面积=.菱形AECF的面积等于,ACEF=2菱形AECF的面积=.,8.(2016广州天河三模,22)如图1,在ABC中,ACB=90,AC=BC=,以点B为圆心,1为半径作圆.设点P为B上一点,线段CP绕着点C顺时针旋转90,得到线段CD,连接DA,PD,PB.(1)求证:AD=BP;(2)若DP与B相切,则CPB的度数为;(3)如图2,当B,P,D三点在同一直线上时,求BD的长;(4)BD的最小值为,此时tanCBP=;BD的最大值为,此时tanCBP=.,解析(1)证明:ACB=90,DCP=90,ACD=BCP,AC=BC,CD=CP,ACDBCP(SAS),AD=BP.(2)45或135.(3)CDP为等腰直角三角形,CDP=CPD=45,则CPB=135.由(1)可知,ACDBCP,CDA=CPB=135,AD=BP=1,BDA=CDA-CDP=90,在RtABC中,AB=2,BD=.(4)1;1;3;-1.,思路分析(1)ACD与BCP满足条件“SAS”,故ACDBCP,从而有AD=BP;(2)改变点P的位置,作图分析;(3)易证BDA=90,用勾股定理可求AB、BD;(4)画图直观分析.,解题关键正确画出不同情形的图形,直观分析.,9.(2016肇庆模拟,25)(1)如图1,E为等边ABC内一点,CE平分ACB,D为BC边上一点,且DE=CD,连接BE,取BE中点P,连接AP,PD,AD,直接写出AP与PD的位置关系,并直接用等式表示AP与PD的数量关系;(2)如图2,把图1中的CDE绕点C顺时针旋转(6090),其他条件不变,连接BE,点P为BE中点,连接AP,PD,AD,试问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.,解析(1)如图,延长DP至点G,使PG=PD,连接BG、AG、GE,图DE=DC,DEC=ECD=ECA=30,DEAC,PG=PD,PB=PE,四边形BDEG是平行四边形,BGDEAC,ABG=BAC=ACD,BG=ED=CD,在ABG和ACD中,BG=CD,ABG=ACD,AB=AC,ABGACD,AG=AD,BAG=CAD,DAG=BAG+BAD=CAD+BAD=BAC=60,ADG是等边三角形,APPD,AP=PD.(2)结论成立.证明:如图,延长DP至G,使PG=PD,连接BG、AG、EG、BD,图由(1)可知BGD=EDG,CDE=120,BGD+CDG=EDG+CDG=360-CDE=240,CBG+BCD=120=ABC+ACB,ABC-CBG=BCD-ACB,即ABG=ACD,PG=PD,PB=PE,四边形BDEG是平行四边形,BG=DE=CD,在ABG和ACD中,BG=CD,ABG=ACD,AB=AC,ABGACD,AG=AD,BAG=CAD,DAG=CAD+CAG=BAG+CAG=BAC=60,ADG是等边三角形,APPD,AP=PD.,
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