高中数学《算法案例——辗转相除法与更相减损术》课件1(19张PPT)(北师大版必修3)

上传人:青**** 文档编号:12703736 上传时间:2020-05-14 格式:PPT 页数:22 大小:894KB
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,欢迎进入数学课堂,2020/5/14,辗转相除法与更相减损术,算法案例,第一课时,2020/5/14,1.回顾算法的三种表示方法:,(1)、自然语言,(2)、程序框图,(3)、程序语言,(三种逻辑结构),(五种基本语句),复习引入,2020/5/14,2.思考:,小学学过的求两个数的最大公约数的方法?,先用两个公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.,2020/5/14,例:求下面两个正整数的最大公约数:,(1)求25和35的最大公约数(2)求49和63的最大公约数,所以,25和35的最大公约数为5,所以,49和63的最大公约数为7,思考:除了用这种方法外还有没有其它方法?,例:如何算出8251和6105的最大公约数?,2020/5/14,新课讲解:,一、辗转相除法(欧几里得算法),1、定义:所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数。若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,2020/5/14,2、步骤:(以求8251和6105的最大公约数的过程为例),第一步用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数8251=61051+2146,结论:8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数,求8251和6105的最大公约数,只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢?,思考:从上述的过程你体会到了什么?,2020/5/14,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例:用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数,也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数,也就是225和135的最大公约数,思考1:从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么?,S1:用大数除以小数,S2:除数变成被除数,余数变成除数,S3:重复S1,直到余数为0,2020/5/14,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤,这实际上是一个循环结构。,m=nqr,用程序框图表示出右边的过程,r=mMODn,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考2:辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构?,2020/5/14,思考:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗?,(1)、算法步骤:,第一步:输入两个正整数m,n(mn).第二步:计算m除以n所得的余数r.第三步:m=n,n=r.第四步:若r0,则m,n的最大公约数等于m;否则转到第二步.第五步:输出最大公约数m.,2020/5/14,(2)、程序框图:,2020/5/14,(3)、程序:,INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND,2020/5/14,二、更相减损术,可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。,第一步:任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。,第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数。,(1)、九章算术中的更相减损术:,1、背景介绍:,(2)、现代数学中的更相减损术:,2020/5/14,2、定义:,所谓更相减损术,就是对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的一对数,再用较大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差数和较小的数相等,此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,2020/5/14,例:用更相减损术求98与63的最大公约数.,解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,9863356335283528728721217211477,所以,98和63的最大公约数等于7,3、方法:,2020/5/14,1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数,练习:,思路分析:先约简,再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。,2、求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析:求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数,第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,2020/5/14,(1)、算法步骤,第一步:输入两个正整数a,b(ab);第二步:若a不等于b,则执行第三步;否则转到第五步;第三步:把a-b的差赋予r;第四步:如果br,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a,执行第二步;第五步:输出最大公约数b.,*思考:你能根据更相减损术设计程序,求两个正整数的最大公约数吗?,2020/5/14,(2)、程序框图,2020/5/14,(3)、程序,INPUT“a,b=“;a,bWHILEabr=a-bIFbrTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWENDPRINTbEND,2020/5/14,比较辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到。,小结,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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