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习题课导数的应用,第3章导数及其应用,学习目标,1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一函数的单调性与其导数的关系,定义在区间(a，b)内的函数yf(x),增,减,知识点二求函数yf(x)的极值的方法,解方程f(x)0，当f(x0)0时，(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；,综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；,解答,命题角度2由函数单调性求参数范围例2已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性；,解f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数.,综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；,解答,(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围.解因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即a的取值范围为(，0.,解答,引申探究1.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围.解因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3.,解答,2.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围.解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立.因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数.,解答,3.函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值.,解由例题可知，,解答,4.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.,解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.,f(x)在区间(1,1)上不单调，,反思与感悟f(x)为(a，b)上的增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.,解答,故a的取值范围是3，).,类型二利用导数研究函数的极值与最值,例3已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行.(1)求函数f(x)的解析式；解因为f(x)3x22ax，曲线在点P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.,解答,(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；,解答,解由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.,解答,(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.,解令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2).当x1,2)时，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，,即实数c的取值范围为(2,0.,反思与感悟(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.,解答,跟踪训练3已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称.(1)求a，b的值；,解函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，,解答,(2)求f(x)的单调区间及极值；解由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24；令f(x)0，得x4.f(x)的单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.,解答,(3)当x1,5时，求函数的最值.解由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，则f(4)128，f(1)47，f(5)115，函数的最大值为47，最小值为128.,达标检测,1.已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_.,答案,1,2,3,4,5,解析,(0,1),1,2,3,4,5,答案,解析,2.已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，则此函数在2,2上的最小值为_.,37,解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在x0,2上单调递减，在2,0上单调递增，f(x)的最大值为f(0)m3，f(x)的最小值为f(2)1624337.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,由函数f(x)在(2，)内单调递减，知f(x)0在(2，)内恒成立，,4.已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为_.,解析因为函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，所以函数g(x)ax3bx在0,1上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在1,0上的最小值为2，故f(x)在1,0上的最小值为221,1,2,3,4,5,答案,解析,5.已知aR，且函数yexax(xR)有大于零的极值点，则实数a的取值范围为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,(，1),解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.,导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,规律与方法,
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