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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,第一章1.3二项式定理,学习目标1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：,知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质,思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？,思考2计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？,答案在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.,答案2,4,8,16,32,64，其系数和为2n.,思考3二项式系数的最大值有何规律？,答案当n2,4,6时，中间一项最大，当n3,5时中间两项最大.,梳理(1)杨辉三角的特点在同一行中，每行两端都是，与这两个1等距离的项的系数.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的，即.,1,相等,和,(2)二项式系数的性质,等距离,二项式系数,2n,偶数,2n,2n1,1.杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.()2.二项式展开式的二项式系数和为()3.二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(),思考辨析判断正误,题型探究,例1(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是A.第6行B.第7行C.第8行D.第9行,类型一与杨辉三角有关的问题,答案,解析由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.,解析,(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于A.144B.146C.164D.461,解析,答案,反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路,跟踪训练1如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第14个数与第15个数的比为23.,答案,解析,34,解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为23，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，,所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是23.,例2已知(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值：(1)a0a1a2a5；,解令x1，得a0a1a2a51.,类型二二项式系数和问题,解答,(2)|a0|a1|a2|a5|；,解令x1，得35a0a1a2a3a4a5.,解答,所|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.,(3)a1a3a5.,解由a0a1a2a51，a0a1a2a535，得2(a1a3a5)135.,解答,引申探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0a2a4；,解因为a0a1a2a51，a0a1a2a535.,解答,(2)a1a2a3a4a5；,解因为a0是(2x1)5展开式中x5的系数，所以a02532.又a0a1a2a51，所以a1a2a3a4a531.,解答,(3)5a04a13a22a3a4.,解因为(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以两边求导数得10(2x1)45a0 x44a1x33a2x22a3xa4.令x1得5a04a13a22a3a410.,解答,反思与感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，,跟踪训练2在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；,解设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.,解答,(2)各项系数之和；,解各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.,解答,(3)所有奇数项系数之和.,解令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，,解答,例3已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；,类型三二项式系数性质的应用,解答,解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，,(2)求展开式中系数最大的项.,解答,假设Tk1项系数最大，,kN，k4，,反思与感悟(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论.当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第k1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项.,跟踪训练3写出(xy)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；,解二项式系数最大的项为中间两项：,解答,(2)项的系数绝对值最大的项；,解(xy)11展开式的通项为,解答,(3)项的系数最大的项和系数最小的项；,解由(2)知中间两项系数绝对值相等，又第6项系数为负，第7项系数为正，,解答,(4)二项式系数的和；,解答,(5)各项系数的和.,达标检测,A.8B.6C.4D.2,1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是,解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,2.(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是A.n，n1B.n1，nC.n1，n2D.n2，n3,解析2n1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，,1,2,3,4,5,即第n1项与第n2项，故选C.,答案,解析,解析令x1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，,1,2,3,4,5,答案,解析,4.设(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_.,解析令x1，得a0a1a2a3a41.,1,2,3,4,5,15,当k4时，x4的系数a416.由得a0a1a2a315.,答案,解析,5.已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为_.,1,2,3,4,5,则第5项的二项式系数最大，,1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k0,1,2，n.,规律与方法,
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