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第二章作业：2.9,2.15,2.16,要求：1）2.9,2.16采用手算2）2.15采用MATLAB处理。要求给出源程序以及上机实验结果3）作业上交时间：下周二参考资料：谷源涛，应启珩，郑君里.信号与系统-MATLAB综合实验.高等教育出版社，2008.,解：根据式(2.26)有,例3求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为，脉冲宽度为，如图所示。,2.3周期信号的频域分析,(2.36),(2.38),(2.39),定义,则式（2.36）变为,可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为,由于，代入上式得,2.3周期信号的频域分析,图2.17周期矩形脉冲的频谱,2.3周期信号的频域分析,通常将这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽，用符号表示：,(2.40),考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形。,2.3周期信号的频域分析,图2.18信号脉冲宽度与频谱的关系,脉冲宽度愈窄，信号的带宽愈大，从而使得频带中包含的频率分量愈多。另外，当信号周期不变而脉宽减小时，由式(2.39)可知，信号频谱幅值也越小。,2.3周期信号的频域分析,信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形：,图2.19信号周期与频谱的关系,周期愈大，信号谱线的间隔便愈小。若周期无限增大，亦即趋于无限大，原来的周期信号变成非周期信号此时，谱线变得越来越密集，最终谱线间隔趋近于零，整个谱线便成为一条连续的频谱。由式(2.39)可知，当周期增大而脉宽不变时，各频率分量幅值相应变小。,2.3周期信号的频域分析,周期矩形脉冲信号特点,周期增大时，谱线变密，幅度减小；脉宽减小时，带宽增加，幅度减小。,周期脉宽（脉冲宽度）,带宽谱线密度幅度,决定,2.3周期信号的频域分析,2.4非周期信号的频域描述,2.4.1傅里叶变换,设为区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式,(2-1),式中,(2-2),将式(2-2)代入式(2-1)得,(2-3),2.4.1傅里叶变换,当时，区间变成，频率间隔变为无穷小量，离散频率变成连续频率。,由式(2-3)得到,(2-4),将式(2-4)中括号中的积分记为：,(2-5),它是变量的函数。,2.4.1傅里叶变换,则(2-4)式可写为：,(2-6),将称为的傅里叶变换，而将称为的逆傅里叶变换，记为：,(2-7),2.4.1傅里叶变换,(2.8),(2.9),(2.10),若将上述变换公式中的角频率用频率来替代，则由于，式（2-5）和（2-6）分别变为,的物理意义与,相同，仅单位不同。,是复数，因而可以写成：,从式(2.9)可知，一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中是谐波的系数，决定着信号的振幅和相位。,2.4.1傅里叶变换,信号的幅值谱密度，相位谱密度，实谱密度，虚谱密度反映了信号的特定性质，利用各种不同谱图分析的信号的性质就称为谱分析,“谱”是什么意思？“谱”就是符号，图形的意思。对什么的图形，符号？对频率的图形符号。,2.4.1傅里叶变换,(能量谱，有理谱),非周期函数存在有傅里叶变换的充要条件：1）在区间上绝对可积，即,2.4.1傅里叶变换,2）为能量有限信号：,3）在,满足狄里赫利条件,例4求图示单边指数函数的频谱。,图2.21单边指数函数,解：由式(2.8)有,于是,2.4.1傅里叶变换,幅频谱,相频谱,图2.22单边指数函数的频谱,2.4.1傅里叶变换,例5图所示为一矩形脉冲(又称窗函数或门函数)，用符号表示：,图矩形脉冲函数,(1),求该函数的频谱。,解：,2.4.1傅里叶变换,图2.24矩形脉冲函数的频谱,其幅频谱和相频谱分别为：,(2),(3),可以看到，窗函数的频谱是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个弧度。,(4),矩形脉冲函数与sinc函数之间是一对傅里叶变换对，若用表示矩形脉冲函数则有：,2.4.1傅里叶变换,2.4.2傅立叶变换的性质,线性尺度变换性奇偶性时移性频移性（亦称调制性）卷积时域微分和积分频域微分和积分,1.线性,如果有,则,和,2.4.3傅立叶变换的性质,证明：根据傅里叶变换的定义进行证明,例子：求下图波形的频谱,2时移性,如果有,则,例求下图所示矩形脉冲函数的频谱。,2.4.3傅立叶变换的性质,解：该函数的表达式可写为,可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至点位置所形成。,幅频谱和相频谱分别为,则,2.4.3傅立叶变换的性质,3.频移性(亦称调制性),如果有,则,常数。,时间信号经过调制后的频谱等于将调制前原信号的频谱进行频移，使得原信号频谱的一半的中心位于处，另一半位于处。,2.4.3傅立叶变换的性质,图2.33的频谱,2.4.3傅立叶变换的性质,傅里叶变换的频移特性,4.时间比例特性（尺度变换性）,如果有,则对于实常数，有,若信号在时间轴上被压缩至原信号的，则其频谱函数在频率轴上将展宽倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的。（尺度变换性或时频展缩性）信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。,2.4.3傅立叶变换的性质,窗函数的尺度变换,2.4.3傅立叶变换的性质,5.卷积,2.4.3傅立叶变换的性质,证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性知，代入上式得,2.4.3傅立叶变换的性质,卷积的图解,2.4.3傅立叶变换的性质,2.4.3一些特殊函数的傅里叶变换,1.单位脉冲函数,在时间内激发有一矩形脉冲p(t)的幅值为1/，面积为1。当0时，该矩形脉冲p(t)的极限便称为单位脉冲函数或函数。,性质：,(1),(2),由函数的两条性质式(2.96)和(2.97)，可得其中x(t)在t=t0时是连续的。单位脉冲函数(t)的傅里叶变换：即：,图2.37(t)及其傅里叶变换,2.4.3一些特殊函数的傅里叶变换,2时移单位脉冲函数(t-t0)的傅里叶变换对：,3常数1的傅里叶变换对：,2.4.3一些特殊函数的傅里叶变换,4余弦函数,余弦函数的频谱：正弦函数的频谱：,欧拉公式：,2.4.3一些特殊函数的傅里叶变换,正余弦信号的傅里叶变换,2.4.3一些特殊函数的傅里叶变换,5周期函数,周期函数x(t)的傅里叶级数形式：,一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于x(t)各谐波频率上的单位脉冲函数组成。,x(t)的傅立叶变换为：,式中,(a),2.4.3一些特殊函数的傅里叶变换,例求单位脉冲序列的傅里叶变换解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式于是有对式(b)两边作傅里叶变换得根据式(a)可得亦即,(b),一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频域中的)一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为0=2/T，且各脉冲分别位于各谐波频率n0=n2/T上，n=0,1,2,。,图周期脉冲序列函数及其频谱,2.5随机信号描述,2.5.1概述2.5.2随机过程的主要特征参数2.5.3功率谱分析2.5.4相关分析,2.5.1概述,随机信号特点：,-具有不能被预测的瞬时值；-不能用解析的时域模型来加以描述；-能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。,描述随机信号必须采用概率统计的方法：,2.5.1概述,随机过程与样本函数,随机过程的集合平均统计特征不是沿某单个样本计算，而是在集合中某时刻t对所有样本函数的观测值取平均。按单个样本的时间历程进行平均的计算称为时间平均,-均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱密度函数等。-均值：-均方值：,对随机过程常用的统计特征参数：,这些特征参数均是按照集平均来计算的，即在集中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。,分类：,平稳随机过程；非平稳过程。,2.5.1概述,平稳随机过程：,过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不随时间原点的选取而变化的过程。,2.5.1概述,对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，则该过程称为各态历经过程。工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；其中的许多都具有各态历经性。,均值表示信号的常值分量。,2.5.2随机过程的主要特征参数,对于一个各态历经过程，其均值定义为,1、均值,变量的数学期望值；样本函数；观测的时间。,随机信号的均方值定义为,变量的数学期望值。,均方值描述信号的能量或强度。的平方根称均方根值。,2、均方值,2.5.2随机过程的主要特征参数,方差表示随机信号的波动分量，方差的平方根称为标准偏差。,随机信号的方差定义为,3、方差,、之间的关系为,2.5.2随机过程的主要特征参数,随机过程的均值、方差和均方值的估计公式为：,2.5.2随机过程的主要特征参数,4、概率密度函数,-概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间内的概率对比值的极限值。-概率密度函数则定义为：,2.5.2随机过程的主要特征参数,4、概率密度函数,2.5.2随机过程的主要特征参数,4、概率密度函数,概率密度可以直接用来判断设备的运行状态。图示为某一高速滚动轴承工作时振动加速度信号的幅值概率密度函数图，其中蓝线为正常轴承的，红线为故障轴承的。由于磨损、腐蚀等故障的出现，轴承振幅增大，谐波增多，反映到概率密度上则使之变得陡峭，同时两旁展宽。因此，比较不同工况下的振动信号图，就可以大致判断设备运行状态是否发生变化。,2.5.2随机过程的主要特征参数,概率密度函数与概率分布函数间的关系,式中为值小于或等于的总时间。,-概率分布函数表示随机信号的瞬时值低于某一给定值的概率，即,5、概率分布函数,2.5.2随机过程的主要特征参数,1、自功率谱密度函数2、互功率谱密度函数3、自谱和互谱的估计4、工程应用,2.5.2功率谱分析,1、自功率谱密度函数,2.5.4功率谱分析,1）随机信号是功率信号，对其做截断处理,2）对截断信号进行傅里叶变换,3）求截断信号的平均功率,是实数，故有：,（*）,（*）,对公示,两边取极限，则有：,令：,描述了随机信号的平均功率在各个不同不同频率上的分布称为自功率谱密度函数,4)单边谱，双边谱,根据信号功率（或能量）在频域中的分布情况，将随机过程区分为窄带随机、宽带随机和白噪声等几种类型。窄带过程的功率谱（或能量）集中于某一中心频率附近，宽带过程的能量则分布在较宽的频率上，而白噪声过程的能量在所分析的频域内呈均匀分布状态。,5)互功率谱密度函数,2.5.4功率谱分析,互功率谱密度函数采用两个随机信号的截断信号来定义,为双边谱，与,类似，,的单边谱为,也是含正、负频率的双边互谱，实用中也常取只含非负频率的单边互谱，由此规定,自谱是f的实函数，而互谱则为f的复函数，实部Cxy(f)称为共谱，虚部Qxy(f)称为重谱.,2.5.4功率谱分析,写为幅频和相频的形式：,2.5.4功率谱分析,互谱密度函数为复数，表示出了两信号之间的幅值与相位关系,6)自谱和互谱的估计,互谱的估计为,定义功率谱亦即自谱的估计值,2.5.4功率谱分析,8)相干函数与频率相应函数,利用互谱密度函数可以定义相干函数,以及系统,的频率响应函数,输出,与输入,输出,与输入,A),B),C),是一个复矢量，由互谱与自谱的比值求得。保留幅值大小与相位信息，因而描述了系统的频域特性。,通过自谱和互谱来求取系统的频率响应函数（重要补充）：,一个线性系统的输出等于其输入和系统的脉冲响应的卷积，即,根据卷积定理，上式在频域中化为,式中即为系统的频响函数，它反映了系统的传递特性。,2.5.4功率谱分析,对式(*)两端乘以各自的复共轭并取期望值有,(*),上式反映出输入与输出的功率谱密度和频响函数间的关系；,式中没有频响函数的相位信息，因此式（*）不可能得到系统的相频特性。,（*）,(*),式(*)将输入、输出的相位关系完全保留了下来，且在这里输入的形式并不一定限制为确定性信号，也可以是随机信号。,由于为实偶函数，因此频响函数的相位变化完全取决于互谱密度函数的相位变化。,如果在式(*)两端乘以的复共轭并取期望值，则有,2.5.4功率谱分析,通常一个测试系统往往受到内部和外部噪声的干扰。从而输出也会带入干扰。输入信号与噪声是独立无关的，因此它们的互相关为零。结论：在用互谱和自谱求取系统频响函数时不会受到系统干扰的影响。,2.5.4功率谱分析,
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