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一、刚体的平动和转动,刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。,刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.,特点：各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。,第二章刚体和流体力学,2-1刚体运动学,平动：,用质心运动讨论,转动：对点、对轴,定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。,刚体的一般运动,既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动,各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同,描述刚体整体的运动用角量最方便。,二、定轴转动的角量描述,转动平面：垂直于转轴的任一平面,角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。,2-2刚体定轴转动的转动定律,一、刚体定轴转动的力矩,力对点的力矩为：,只影响转轴的转动,在轴上的投影,对轴的力矩：（在轴上的分量）,问题：,？,力对轴上任一点的力矩在轴上的投影即是力对该轴的力矩。,将切向分量式两边同乘以,变换得,二、定轴转动的转动定律,大小相等，方向相反,定轴转动的转动定理,物理意义：刚体做定轴转动时，所受到的合外力对轴的力矩等于刚体对同一转轴的转动惯量与角加速度的乘积。,讨论：,瞬时式，,，必须是对同一转轴,与转动方向成右手系,矢量表达式为：,三、转动惯量(momentofinertia),1、定义,质量与该点到转轴距离的平方的乘积。,与转动惯量有关的因素：刚体的质量质量的分布转轴的位置,单位：,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量,1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：细圆环,又解:,J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,2、求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,3、求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。,解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,Z,4、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,A,B,L,X,A,B,L/2,L/2,C,X,解：取如图坐标,dm=dx,2、平行轴定理,前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：,推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：JJCmd2。,这个结论称为平行轴定理。,右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）,四、转动定律应用举例,例1、一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。,解：,例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求闸瓦对轮子的压力N为多大？,解：飞轮制动时有,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,代入数据：,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，该质量元的重力对轴的元力矩为,例3、一根长为、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,重力对整个棒的合力矩为,代入转动定律，可得,两边积分，,例4、一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为,求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？,解摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环积分。,故摩擦力矩为,于是得,由=o+t=0得,又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为,比较：,一、刚体的转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,2-3刚体定轴转动中的动能定理,设物体在力F作用下,绕定轴oz转动，力的作用点P位移大小为ds=rd,则力F的元功是dW=Fdscos(90o-)=Frsind=Md即:力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘积。当刚体由角1转到2时,力矩所作的功为,力矩的功率是,二、力矩的功,即力矩的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。,三、刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体定轴转动的动能定理,与质点的动能定理比较,四、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律,刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.,刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和.,若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.,机械能守恒定律,d,例1、如图所示，质量为的物体，放在光滑的斜面上，斜面与水平面倾角为，弹簧的倔强系数为，滑轮的转动惯量为，半径为。先将物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放。求物体沿斜面滑下距离为时的速度。,解：取物体、滑轮、大地、弹簧为一系统，重力、弹性力为内力。,系统机械能守恒,初态：,末态：,方向：沿斜面向下。,刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该定轴作圆周运动.,刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积.,一、刚体的角动量定理,2-4刚体角动量定理和角动量守恒定律,1、刚体定轴转动的角动量,外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量.,若J可以改变,则,2、刚体的角动量定理,二、角动量守恒定律及其应用,角动量守恒定律的两种情况：,1、转动惯量保持不变的单个刚体。,当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变.这一结论称为角动量守恒定律.,2、转动惯量可变的物体。,实际中的一些现象,艺术美、人体美、物理美相互结合,、芭蕾舞演员的高难动作,当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳地。,花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.,例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.,解:请问:1.子弹和棒的总动量守恒吗?,2.总角动量守恒吗?为什么?,联立,得,法二:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:,子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：,因,由两式得,例2、如图，已知：,子弹射入并嵌在棒内，求子弹的初速。,解：过程分两步1、子弹与棒发生完全非弹性碰撞角动量守恒2、子弹与棒摆动，机械能守恒。,例3、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下摆,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。,解:单摆下落过程机械能守恒；,摆与杆的碰撞过程角动量守恒，机械能守恒；,杆上摆的过程机械能守恒；,设:碰撞前单摆摆锤的速度为v0,碰撞后杆下端达到的高度为h,联立，得,解：下落,碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：,由（1）（2）（3）式得：,取，地球为一系统，只有重力做功，故机械能守恒。,由（3）（4）（5）式得：,解(1)系统(圆盘+人)什么量守恒？系统角动量守恒：,上式正确吗？,错！因为角动量守恒定律只适用于惯性系。所以应代入人相对于惯性系(地面)的角动量。,人对地=,+,正确的角动量守恒式子是：,解出：,(2)欲使盘静止，可令,得,式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动(o)方向不一致。,解系统(小球和环、地球)在运动过程中哪些量守恒？系统在运动过程中，角动量守恒,机械能守恒:,(1),例6、空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为Jo,半径为R，初始角速度为o。质量为m的小球静止在环的最高处A点，由于某种扰动，小球沿环向下滑动，求小球滑到与环心o在同一高度的B点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。(设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小),(2),由相对运动，对小球有,B表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度(即相对于环的速度)。,由(2)得,由(1)得环的角速度为,(1),(2),解：子弹击中圆盘，角动量守恒,由冲量矩定理：,三、陀螺的旋进（进动）,一）何谓旋进,陀螺的运动,当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量,受重力的力矩,二）旋进的解释,产生一个新的角动量,也即刚体绕新的轴运动，产生了进动。进动角速度,a,三）旋进的应用举例,我们知道：甩手榴弹时，手榴弹要翻跟头，但为了保证子弹，炮弹不至如此，常在炮筒内加来复线，以保证弹头朝前。,
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