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第三讲,概率论,概率论的产生和发展,概率论产生于十七世纪，本来是随保险事业的发展,而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。,早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提,出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了a(am)局，另一个人赢了b(bm)局的时候，,赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。,三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学,家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论机会游戏的计算一书，这就是最早的概率论著作。,近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。,第一节,基础概率,一、随机现象与随机试验随机现象非确定性现象随机试验：对随机现象的观察随机试验须符合的条件：1、可以在相同的条件下重复进行2、试验的所有结果是事先已知的，并且不止一个3、每次试验只能出现可能结果的一种，且不能预先判断是哪一种如：掷硬币二、概率的概念,随机事件发生可能性大小的数量表示。三种情况：1、不可能事件概率P（）=02、必然事件S概率P（S）=13、必然与不可能之间E概率0P（E）1,三、概率的计算方法,1、频率法,频数与频率随机事件E出现的次数n频数,频率,n与实验次数N的比值频率的三种状况：,2）,定值。,频率是一个近似值，概率是一个理论值、唯一的精确值，比频率完美。,fs1,nN,3）f0概率是实验或观察次数N趋于无穷时，相应频率的稳,1）0fE1,nN,NN,PElimfElim,2、古典法,1）样本点Ei：随机实验中的每一种结果2）样本空间S：样本点的总和3）随机事件A：基本事件的集合，它是S的子集4）古典概型的条件样本空间只有有限个样本点每个样本点出现的可能性相同,5）计算,mn,PA,A中包含样本点的个数样本点总数,例：5人中3男2女，随机抽有一女的概率,男生代码E1E2E3女生代码F1F2样本空间5个n=5,随机事件样本点：m=2再例：100人中，5人超过70岁，任抽一人，是古稀老人的概率？,25,PA,四、概率的运算,（一）条件之间的关系1、包含与相等A发生必然导致B发生，则B包含AAB如果存在反向包含关系则A=B,例：A=人；B=男人；C=女人；A与B？,2、事件和A与B至少有一个发生才构成事件C则为和A+B,例：A=香港人；B=澳门人；C=港澳人士；A+B？,3、事件积A与B同时发生构成事件C则为事件积AB,例：A=品德好；B=能力强；C=德才兼备；AB？,（一）条件乊间的关系（续）,AB=,4、互不相容A发生则导致B不发生例：某人来自的省份。,5、对立事件,A与B为互不相容事件，且在一次实验或观察中必有其一发生。,A+B=S,AB=例：性别,6、相互独立：二者无关系,例：两个妇女同时生孩子，生男生女是否有关？,PA1A2AnPA1PA2PAn,（二）概率的运算,ni1,1、加法1）条件：A、B互不相容时：A+B（事件和）为A的概率B的概率之和。PABPAPB推论：n个事件2）A与B不满足互不相容时：PABPAPBPAB推论三个事件：PABCPAPBPCPABPACPBCPABCn个事件：,例：,1、湖南某地外出打工：100户中，每户一人广州打工：30户；深圳打工：20户；上海打工：20户；任抽一户，南,下打工的概率？,2、某班学生30人，父亲大学文化8人，母亲大学文化6人，父母均为大学文化的3人，任抽一人，父辈至少一人大学,文化的概率？,课内练习：,对某班女生调查：不吃早餐的50%，不吃中餐的20%，两餐,都不吃的10%，求下列事件概率：,1、只不吃早餐的2、中、早至少一餐不吃3、中、早只有,一餐不吃4、中、早两餐都吃,2、乘法,简化式：A、B相互独立PABPAPBPA1A2AnPA1PA2PAn一般式：A与B不满足相互独立当一事件已发生条件下另一事件发生的概率条件概率PBA-A发生条件下事件B发生的概率PABPAPBA或PABPBPAB,A1PAnA1A2An,推论：PA1A2AnPA1PA2,例题1,某城市中，有60%的家庭订阅日报，有80%的家庭有电视机，假定这两个事件是独立的，随机抽出一个家庭，发现既订日报又有电视机的概率？,答案,A=该家庭订一份日报B=该家庭有电视机P(A)=0.60P(B)=0.80P(AB)=0.60*0.80=0.48,例题2,对同一目标进行3次射击，第一、二、三、次射击命中的概率分别是：0.3,0.4,0.6，求在这三次射击中恰有一次命中的概率。,答案,Ai=第i次射击命中A=恰有一次命中P（A）=0.3*0.6*0.4+0.7*0.4*0.4+0.7*0.6*0.6=0.436,例：,1、某厂一天两班生产350件产品，一班生产200件，次品9件；二班生产150件，次品4件。随机抽一件，是次品，问：是,一班生产的概率？解答,2、居民楼20户，无子女家庭2户，访问两,户均为无子女家庭的概率？,练习：据统计，能活到60岁的概率为0.8；活到70岁的概率为0.4,问现年60岁的人活到70岁的概率？,例一答案：,第一种方法：,A=抽选的一件产品是一班生产的B=抽选的一件产品是次品已知B发生，p(A/B)=9/13,第二种方法：,P(A/B)=p(AB)/p(B)=9/35013/350=9/13AB=抽选的一件产品是一班生产的次品,PBPAiPBAi,其中PBPAiPBAi,五、全概率不逆概率公式,1、全概公式A1、A2An为完备事件组，即：1）A1、A2An互不相容2）A1+A2+An=S对任一事件B都有ni12、逆概率公式（贝叶斯公式）在B发生的情况下，追溯导致B发生的各种原因Ai概率,PAiPBAiPB,PAiB,ni1,全概例：有三个工作人员被指定复制某种表格。某一人复制了这种表格的40%，第二人复制了35%，第三人复制了23%，第一人的错误率为0.04，第二人的错误率为0.06，第三人的错误率为0.03。随机抽一份表格，这份表格有错误的概率为多少？逆概例：接上例。某天，随机抽出一份表格，发现有错误，办公室主管想知道由第一、第二、第三个工作人员所造成的概率是多少？,2）PK1,第二节概率分布、均值不方差,性质：1）,分布列表明全部概率在各可能取值之间的分布规律，全面描叙离散随机变量的统计规律,Pk0,一、概率分布：随机现象一共有多少种结果，以及每种结果伴随的概率。1、离散型随机变量及其概率分布分布列概率分布：PXiPi例1：10人中，女性3人，抽3人，女性人数的概率分布。例2：两名孕妇，生女婴的概率分布。,K1,Px,x,Px1x2xdx,xdx1,2、连续型随机变量及其概率分布概率密度函数,2）,2,x2,x0,xx,概率密度：xlim,x0,1）,任意两点（X1，X2）之间的概率为：x2x1概率密度x存在以下性质：,FxPxxdx,Px,x,3、分布函数,1）定义：F（x）=P（x）意义：随机变量从最远的起点（-）到所研究的x点所有概率的总和。2）对于离散型随机变量，则：依据概率的加法定理：例,频率频率密度,xi,Pxix,FxPx,3）对于连续性随机变量，则：依据单微积分知识：x4）分布函数与概率分布有一一对应关系5）几个概念的比较：,2,x2,x0,xx,概率概率密度xlim,向上累计频率fi分布函数,FxPx1,例：,家庭子女数：,x1x2x3x4,x4,F(x)=？,P(=Xi),10.5,20.2,30.2,40.1,Ex1P1x2P2xnPnxiPi,1）离散型xnixi,2）连续型Exxdx,二、数学期望（总平均值）：,1、数学期望的公式ni1N2、数学期望与平均值niPN当调查总数N等于总体个案时：数学期望又可称作总体均值3、数学期望是各随机变量取值分别乘以取值的概率，因此，也称作随机变量的加权平均值。,例：,两名学生拿名次比较：,求E(),甲（名次）p乙（名次）p,10.210.3,20.520.3,30.330.4,Ei,推广n个：,4、数学期望的性质：1）常数的数学期望等于该常数ECC2）随机变量与常数之和的期望等于随机变量期望与常数之和ECEC3）ECCE4）两个随机变量EEE推广n个随机变量：ni15）两个独立随机变量的期望EEE,E12nE1E2En,方差：D,三、方差不标准差,1、离散型随机变量,2、连续型随机变量,方差：D,EE2xE2Piii,xE2xdx,标准差：D3、方差和标准差都反映了随机变量的可能值密集在数学期望周围的程度。方差值越小，密集程度越高；反之则方差值较大。,P,CD,4、计算过程利用公式求E（）=求E（）2求E（）2（=xi）2=5、方差的性质常数的方差为0D（+C）=D（）D（）=C2（）两个独立变量D（+）=D（）+D（）推广n个,例题,12名学生，3女，9男。任抽一人，如为女生，则不放回，再抽一人，直到抽到男生为止，求，抽到男生以前已抽出的女生人数的数学期望与方差。,答案,=抽出女生数,P(=0)=9/12=0.75,P(=1)=3/12*9/11=0.2015,P(=2)=3/12*2/11*9/10=0.0409,P(=3)=3/12*2/11*1/10*9/9=0.0045,四、矩、偏态不峰态,（一）矩矩是各点对某一固定点离差幂的平均值1、原点矩vi：表示对原点“0”的i阶距2、中心矩ui：表示对E（）的第i阶距3、中心矩与原点矩的关系u1=0u2=v2v12u3=v33v2v1+2v13u4=v44v3v1+6v2v123v14,续（二）偏态：三阶中心矩,u3=EE（）3,（三）峰态：四阶中心矩u4=EE（）4,
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