甘肃省兰州市年高考数学一模试卷解析版理科.doc

.可编辑修改，可打印别找了你想要的都有！ 精品教育资料全册教案，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式2017年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|（x3）（x+1）0，N=x|2x2，则MN=（）A2，1B1，2C1，1D1，22已知复数z满足（34i）z=25，则z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i3已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a5+a7=24，则S9=（）A36B72CC144D2884已知某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中m的值为（）A45B50C55D605下列命题中，真命题为（）Ax0R，e0BxR，2xx2C已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=1D已知a，b为实数，则a1，b1是ab1的充分不必要条件6某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A（9+）B（9+2）C（10+）D（10+2）7设变量x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值是（）ABCD58如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的”更相减损术“执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0时，则输出的i=（）A3B4C5D69已知圆C：（x）2+（y1）2=1和两点A（t，0），B（t，0）（t0），若圆C上存在点P，使得APB=90，则当t取得最大值时，点P的坐标是（）A（，）B（，）C（，）D（，）10函数f（x）=sin（x+）（xR，0，|）的部分图象如图所示，如果x1+x2=，则f（x1）+f（x2）=（）ABC0D11已知F1、F2为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）ABCD212设函数f（x）在R上的导函数为f（x），对xR有f（x）+f（x）=x2，在（0，+）上f（x）x0，若f（4m）f（m）84m，则实数m的取值范围是（）A2，+）B（，2C（，22，+）D2，2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共40分）13cos2165sin215=14的展开式中，x2项的系数为（用数字作答）15已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的体积为16已知数列an中，a1=1，Sn为数列an的前n项和，且当n2时，有=1成立，则S2017=三、解答题17（12分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面积18（12分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）人数45853年龄45，50）50，55）55，60）60，65）65，70）人数67354经调查年龄在25，30），55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查（）求年龄在25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望19（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（）求证：A1B平面AC1D；（）若点E为A1C上的点，且满足=m（mR），若二面角EADC的余弦值为，求实数m的值20（12分）已知椭圆C： +=1（ab0）经过点（，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为，若动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由21（12分）已知函数f（x）=+lnx在（1，+）上是增函数，且a0（）求a的取值范围；（）若b0，试说明ln选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=asin（a0）（）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=的定义域为R（）求m的取值范围；（）若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x3|2x2n42017年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|（x3）（x+1）0，N=x|2x2，则MN=（）A2，1B1，2C1，1D1，2【考点】交集及其运算【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出两解集的公共部分即可确定出两集合的交集【解答】解：由（x3）（x+1）0，解得：x1或x3，M=x|x1或x3，N=x|2x2，则MN=x|2x1=2，1故选A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知复数z满足（34i）z=25，则z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i【考点】复数相等的充要条件【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果【解答】解：满足（34i）z=25，则z=3+4i，故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a5+a7=24，则S9=（）A36B72CC144D288【考点】等差数列的前n项和【分析】根据an是等差数列，a3+a5+a7=24，可得3a5=24，即a5=8S9=可得答案【解答】解：由题意，an是等差数列，a3+a5+a7=24，可得3a5=24，即a5=8S9=，而a5+a5=a1+a9，S9=72，故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题4已知某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中m的值为（）A45B50C55D60【考点】线性回归方程【分析】由表中数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点，求出m的值【解答】解：由表中数据，计算=（2+4+5+6+8）=5，=（30+40+50+m+70）=38+，回归直线方程=6.5x+17.5过样本中心，38+=6.55+17.5，解得m=60故选：D【点评】本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题5下列命题中，真命题为（）Ax0R，e0BxR，2xx2C已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=1D已知a，b为实数，则a1，b1是ab1的充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对于A，B，C举例即可说明，对于D根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：对于A：因为ex0恒成立，故A不正确，对于B：当x=2时，不成立，故B不正确，对于C：a=b=0时，则a+b=0，故C不正确，对于D：由a1，b1ab1，当a=2，b=2时，满足ab1，但不满足a1，b1，故a1，b1是ab1的充分不必要条件，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件和命题的真假的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键6某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A（9+）B（9+2）C（10+）D（10+2）【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据图中数据求表面积【解答】解：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为2，所以几何体的表面积为12+24+=（9+）；故选A【点评】本题考查了由几何体的三视图求对应几何体的表面积；关键是正确还原几何体7设变量x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值是（）ABCD5【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解【解答】解：由约束条件作出可行域如图，x2+y2的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，则其最小值为故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题8如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的”更相减损术“执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0时，则输出的i=（）A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足ab，不满足a=b，b=86=2，i=2满足ab，a=62=4，i=3满足ab，a=42=2，i=4不满足ab，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4故选：B【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题9已知圆C：（x）2+（y1）2=1和两点A（t，0），B（t，0）（t0），若圆C上存在点P，使得APB=90，则当t取得最大值时，点P的坐标是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为2，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为3再由APB=90，可得PO=AB=t，可得t3，从而得到答案【解答】解：圆C：（x）2+（y1）2=1，其圆心C（，1），半径为1，圆心C到O（0，0）的距离为2，圆C上的点到点O的距离的最大值为3再由APB=90，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=t，故有t3，A（3，0），B（3，0）圆心C（，1），直线OP的斜率k=，直线OP的方程为y=联立：解得：故选D【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的灵活运用，根据两点A（t，0），B（t，0）与圆的最大值距离求出t是解决本题的关键10函数f（x）=sin（x+）（xR，0，|）的部分图象如图所示，如果x1+x2=，则f（x1）+f（x2）=（）ABC0D【考点】正弦函数的图象【分析】根据图象求解f（x）=sin（x+）的解析式，不难发现图象关于（，0）中心对称，可得则f（x1）+f（x2）的值【解答】解：根据图象可知A=1， T=（）=T=，那么=，可得f（x）=sin（2x+）图象过（）sin（）=0，|，=故得f（x）=sin（2x）由对称中心横坐标：2x=k，（kZ）可得x=，（kZ）图象关于（，0）中心对称，x1+x2=，即则f（x1）+f（x2）=0故选C【点评】本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式考查了函数的对称性问题属于中档题11已知F1、F2为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到【解答】解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OMPF1，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2PF1，|NP|=|NF1|，由|NF2|=2|OM|=2a，则|NP|=2b=2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，即4b2c=2a，即2b=c+a，4b2=（c+a）2，即4（c2a2）=（c+a）2，4（ca）=c+a，即3c=5a，则e=故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键12设函数f（x）在R上的导函数为f（x），对xR有f（x）+f（x）=x2，在（0，+）上f（x）x0，若f（4m）f（m）84m，则实数m的取值范围是（）A2，+）B（，2C（，22，+）D2，2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意设g（x）=f（x），由条件和奇函数的定义判断出g（x）是R上的奇函数，求出g（x）后结合条件判断出符号，由导数与单调性的关系判断出在（0，+）上的单调性，由奇函数的性质判断出在R上的单调性，由g（x）的解析式化简已知的不等式，利用g（x）的单调性列出不等式，求出实数m的取值范围【解答】解：由题意设g（x）=f（x），对xR有f（x）+f（x）=x2，g（x）+g（x）=f（x）+f（x）x2=0，则函数g（x）是R上的奇函数，在（0，+）上f（x）x0，g（x）=f（x）x0，则函数g（x）在（0，+）上递减，由奇函数的性质知：函数g（x）在（，+）上递减，f（4m）f（m）=g（4m）+g（m）+=g（4m）g（m）+84m84m，g（4m）g（m），则4mm，解得m2，即实数m的取值范围是2，+），故选A【点评】本题考查导数与单调性的关系，奇函数的定义以及性质，以及函数单调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共40分）13cos2165sin215=【考点】二倍角的余弦【分析】应用诱导公式、二倍角的余弦公式化简所给的式子，可得结果【解答】解：cos2165sin215=cos215sin215=cos30=，故答案为：【点评】本题主要考查应用诱导公式、二倍角的余弦公式进行化简求值，属于基础题14的展开式中，x2项的系数为20（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为Tr+1=x5r（1）r，令5r=2，求得r=3，可得x2项的系数为=20，故答案为：20【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题15已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】利用等体积转换，求出PC，PAAC，PBBC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥PABC外接球的体积【解答】解：由题意，设PC=2x，PAAC，APC=，APC为等腰直角三角形，PC边上的高为x，平面PAC平面PBC，A到平面PBC的距离为x，BPC=，PAAC，PBBC，PB=x，BC=x，SPBC=x=x2，VPABC=VAPBC=，解得x=2，PAAC，PBBC，PC的中点为球心，球的半径为2，三棱锥PABC外接球的体积为=故答案为：【点评】本题考查三棱锥PABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键16已知数列an中，a1=1，Sn为数列an的前n项和，且当n2时，有=1成立，则S2017=【考点】数列的求和【分析】当n2时，有=1成立，可得2（SnSn1）=（SnSn1）Sn，化为：=，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：当n2时，有=1成立，2（SnSn1）=（SnSn1）Sn，化为：=，数列是等差数列，公差为，首项为1=1+（n1）=，解得Sn=S2017=故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17（12分）（2017兰州一模）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面积【考点】余弦定理的应用；正弦定理【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积【解答】解：（1）在ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，（2分）即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB0，所以sinA+cosA=0，即，又因为A（0，），所以（2）在ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，则（8分）即，解得或，（10分）又，所以（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力18（12分）（2017兰州一模）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）人数45853年龄45，50）50，55）55，60）60，65）65，70）人数67354经调查年龄在25，30），55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查（）求年龄在25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）设“年龄在25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”为事件A，则P（A）=（II）X的可能取值为0，1，2，3利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出【解答】解：（I）设“年龄在25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”为事件A，则P（A）=（II）X的可能取值为0，1，2，3P（X=0）=，P（X=1）=P（X=2）=，P（X=3）=X的分布列如下：X0123PE（X）=0+1+2+3=【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2017兰州一模）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（）求证：A1B平面AC1D；（）若点E为A1C上的点，且满足=m（mR），若二面角EADC的余弦值为，求实数m的值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）连结A1CAC1于F，则F为AC1的中点，连结DF，则A1BDF，由此能证明A1B平面AC1D（）过E作EMAC于M，则EM平面ABC，过M作MNAD，垂足为N，连结EN，则ENM为二面角EADC的一个平面角，由此利用二面角EADC的余弦值为，能求出m的值【解答】证明：（）连结A1CAC1于F，则F为AC1的中点，连结DF，则A1BDF，DF平面AC1D，A1B平面AC1D解：（）过E作EMAC于M，则EM平面ABC，过M作MNAD，垂足为N，连结EN，则ENAD，ENM为二面角EADC的一个平面角，设EM=h，则=，CM=，AM=2，MN=，EN2=EM2+MN2=h2+（1）2，cos，故=，解得h=，此时，点E为A1C的中点，m=1【点评】本题考查线面平行的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）（2017兰州一模）已知椭圆C： +=1（ab0）经过点（，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为，若动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由椭圆经过点（，1），且离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，由M，N都在椭圆=1上，设=，得到点P是椭圆上的点，由此能求出F1，F2的坐标【解答】解：（）椭圆C： +=1（ab0）经过点（，1），且离心率为，解得a=2，b=，椭圆C的方程为=1（）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，M，N都在椭圆=1上，（）=（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2），设=，x1x2+2y1y2=0，x2+2y2=20，点P是椭圆上的点，由椭圆的定义知存在点F1，F2，满足|PF1|+|PF2|=2=4为定值，又|F1F2|=2=2，F1，F2的坐标分别为F1（，0），F2（，0）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查焦点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用21（12分）（2017兰州一模）已知函数f（x）=+lnx在（1，+）上是增函数，且a0（）求a的取值范围；（）若b0，试说明ln【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出原函数的导函数，由f（x）0，且a0，得ax10，即x，再由x的范围求得a的范围；（）b0，由（）知a1，可得1，由f（x）=+lnx在（1，+）上是增函数，可得f（）f（1），化简得到；由ln0构造辅助函数g（x）=ln（1+x）x（x0，+），利用导数判断函数g（x）在0，+）上为减函数由g（）g（0）得ln【解答】解：（）f（x）=，由f（x）0，且a0，得ax10，即x，x（1，+），即a1；（）b0，由（）知，a11，又f（x）=+lnx在（1，+）上是增函数，f（）f（1），即0化简得：；ln0令g（x）=ln（1+x）x（x0，+），则g（x）=0函数g（x）在0，+）上为减函数g（）=ln（1+）=lng（0）=0综上，ln【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）（2017兰州一模）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=asin（a0）（）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（）将t参数消去可得直线l的普通方程，根据cos=x，sin=y，2=x2+y2带入圆C可得直角坐标系方程；（）利用弦长公式直接建立关系求解即可【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：4x+3y8=0；由圆C的极坐标方程为=asin（a0），可得2=asin，根据sin=y，2=x2+y2可得圆C的直角坐标系方程为：x2+y2ay=0，即（）由（）可知圆C的圆心为（0，）半径r=，直线方程为4x+3y8=0；那么：圆心到直线的距离d=直线l截圆C的弦长为=2解得：a=32或a=故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时a的值为32或【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题选修4-5：不等式选讲23（2017兰州一模）已知函数f（x）=的定义域为R（）求m的取值范围；（）若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x3|2x2n4【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）由题意，|x+1|+|x3|m0恒成立，利用基本不等式，可得求m的取值范围；（）m的最大值为4，关于x的不等式：|x3|2x4，分类讨论，即可解关于x的不等式【解答】解：（）由题意，|x+1|+|x3|m0恒成立|x+1|+|x3|（x+1）x3）|=4，m4；（）m的最大值为4，关于x的不等式：|x3|2x4或，x3或x3，不等式的解集为x|x3或x3【点评】本题考查恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，属于中档题28.