资源描述
第六十九课时 复数的概念与运算（课前预习案）考纲要求1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。2.掌握复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则。3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。基础知识梳理1复数：形如 的数叫做复数，其中a , b分别叫它的 和 2分类：设复数：(1) 当 0时，z为实数；(2) 当 0时，z为虚数；(3) 当 0, 且 0时，z为纯虚数.3复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.4共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时这两个复数互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)5若zabi, (a, bR), 则 | z | ； z .6复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做 ， 叫虚轴7复数zabi(a, bR)与复平面上的点 建立了一一对应的关系8两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.9. 复数的运算：（1）(a+bi) (c+di)= ；（2）(a+bi)(c+di)= ； （3）(a+bi)(c+di)= ；（4）i具有周期性:4n+1= ；4n+2= ； 4n+3= ； 4n= ；n+n+1+n+2+n+3 = （nN）(1+i)2 ; (1-i)2 ; ； . 预习自测1 i是虚数单位，则i_.2 若复数(1i)(1ai)是纯虚数，则实数a_.3 复数(34i)i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4 把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位若z1i，则(1z)等于()A3i B3iC13i D35 设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件第六十九课时 复数的概念与运算（课堂探究案）典型例题考点1.复数的概念【典例1】 (1)已知aR，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A1 Bi C. D0(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【变式1】（1）设,是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=_（2）已知a, bR, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = _.考点2.复数的运算【典例2】（1）设复数满足,则（）ABCD（2）复数的模为（）ABCD（3）已知是虚数单位,则（）ABCD【变式2】 (1)已知复数z，是z的共轭复数，则z_.(2)复数的值是_(3)已知复数z满足2i，则z_.考点3.复数的几何意义【典例3】（1）若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（）ABCD（2）复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 （3）在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（4）已知复数的共轭复数(i为虚数单位),则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【变式3】已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围当堂检测1 设i为虚数单位，则复数等于()A65i B65iC65i D65i2 若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35i B35iC35i D35i3 若复数z满足zi1i，则z等于()A1i B1i C1i D1i4 若1bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|abi|等于()A. B. C. D15 计算：_(i为虚数单位)第六十九课时 复数的概念与运算(课后巩固案) A组全员必做题1 方程x26x130的一个根是()A32i B32iC23i D23i2 设f(n)nn(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为()A1 B2 C3 D无数个3 对任意复数zxyi(x，yR)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A|z|2y Bz2x2y2C|z|2x D|z|x|y|4已知复数z(3i)2(i为虚数单位)，则|z|_.5设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_6设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_B组提高选做题1 已知复数z满足12i，则复数z_.2已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_3.已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.4复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值5.已知复数z，且|z|2，求|zi|的最大值，以及取得最大值时的z.第六十九课时复数的概念与运算参考答案预习自测1 答案i解析iii.2 答案1解析由(1i)(1ai)(1a)(a1)i是纯虚数得，由此解得a1.3答案B解析由于(34i)i43i，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(4,3)，相对应的点位于第二象限，选B.4答案A解析(1z)(2i)(1i)3i.5答案B解析当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件.典型例题【典例1】【答案】(1)A(2)A解析(1)由i是纯虚数，得a1，此时i，其虚部为1.(2)由，解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件【变式1】（1）m=-2. （2） 【典例2】（1）A；（2）B ；（3）B 【变式2】答案(1)(2)16(3)i解析(1)方法一|z|，z|z|2.方法二z，z.(2)2416.(3)由2i，得ziiiii.【典例3】（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D 【变式3】解设zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知，解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)当堂检测1答案D解析(5i6i2)(5i6)65i，故选D.2答案A解析z(2i)117i，z35i.3答案A解析方法一由zi1i得z11i.方法二设zabi(a，bR)，由zi1i，得(abi)i1i，即bai1i.由复数相等的充要条件得即z1i.4答案A解析由1bi得a2，b1，所以abi2i，所以|abi|.所以选A.5答案12i解析12i. A组全员必做题1答案A解析方法一x32i，故应选A.方法二令xabi，a，bR，(abi)26(abi)130，即a2b26a13(2ab6b)i0，解得即x32i，故应选A.2 答案C解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素3答案D解析xyi(x，yR)，|z|xyixyi|2yi|2y|，A不正确；对于B，z2x2y22xyi，故不正确；|z|2y|2x不一定成立，C不正确；对于D，|z|x|y|，故D正确4答案10解析方法一z(3i)2，|z|(3i)2|3i|210.方法二z(3i)296ii286i，|z|10.5答案1解析设zabi(a、bR)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.6答案8解析(2515i)53i，a5，b3.ab8.B组提高选做题1 答案i解析zi.2答案解析|z2|，(x2)2y23.由图可知max.3.解(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.4解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.5.解方法一设zxyi(x，yR)，|z|2，x2y24，|zi|xyii|x(y1)i|.y24x24，2y2.故当y2时，52y取得最大值9，从而取最大值3，此时x0，即|zi|取得最大值3时，z2i.方法二类比实数绝对值的几何意义，可知方程|z|2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|zi|表示圆上的点到点A(0,1)的距离如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，即当z2i时，|zi|取得最大值3.
展开阅读全文