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高二数学2016年联赛初赛模拟训练（6） 班级： 姓名： 一填空题（每小题7分，共70分）1、已知，则 2、 已知数列满足，则数列的通项公式_3、 已知，若存在使得同时成立，则.4、过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 5、.已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上,记的面积分别为,则的最小值为 . 6、已知向量的夹角为,向量的夹角为,则的最大值是 7、将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 8、设表示不超过实数x的最大整数若是质数，则x的取值范围是 9、已知半径为3的球面上有A，B，C，D四点若AB=3，CD=4，则四面体ABCD体积的最大值是 10、设是方程的三个根，则的值为 5 二、解答题（每小题20分，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）11、已知正实数满足，且，求的最小值12、已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点（1）当且时，求的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点13、已知函数是定义在上的严格增函数，其值域也在之中，且满足.求. 14正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点高二强化班2016年联赛初赛模拟训练（6） 班级： 姓名： 一填空题（每小题7分，共70分）1、已知，则2、 已知数列满足，则数列的通项公式_3、已知，若存在使得同时成立，则.解：在有解在有解 4、过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为5、.已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上,记的面积分别为,则的最小值为 .6、已知向量的夹角为,向量的夹角为,则的最大值是 247、将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 128、设表示不超过实数x的最大整数若是质数，则x的取值范围是 答案：x或x解：因为，x都是整数，要使是质数，则，中其中一个为1或1，另一个为质数当1时，则1x2，x此时2满足题意；当1时，则1x0，x此时2满足题意当1，或1时，不是质数9、已知半径为3的球面上有A，B，C，D四点若AB=3，CD=4，则四面体ABCD体积的最大值是 答案：2+3解：取异面直线AB，CD的公垂线段MN，记异面AB与CD所成的角为(0，则VA-BCDABCDMNsin2 MN设四面体ABCD外接球的球心为O，AB，CD中点为E，F则OE=，OF=异面直线AB与CD的距离MNEFOEOF所以VA-BCD2 MN23当ABCD，以AB为直径的小圆所在平面与以CD为直径的小圆所在平面平行(球心在两小圆面之间)，上式等号成立10、设是方程的三个根，则的值为 5 二、解答题（每小题20分，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）11、已知正实数满足，且，求的最小值解 令，则-5分令 ，则 ，且-10分于是 -15分因为函数在上单调递减，所以因此，的最小值为 12、已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点（1）当且时，求的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点解 所在直线的方程为，其中，代入中，得，设，则有，从而则所在直线的方程为，其中，同理可得-5分（1）当时，又，故，于是的面积，当且仅当时等号成立所以，的面积的最小值为. -10分（2），所在直线的方程为，即 -15分又，即，代入上式，得，即 当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点 -20分13、已知函数是定义在上的严格增函数，其值域也在之中，且满足.求.（1）首先，.否则，若，一方面，另一方面，根据已知条件有.矛盾.其次，.否则，若，因为是关于的严格增函数，所以，这与已知相矛盾.综上所述，可知（因为）.（2）由，得.故=.（3）由（2）知，所以，. .而，且（因为）是上的严格增函数），所以，.（4）故14正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点 9
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