高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 苏教版选修2-2

第三章 数系的扩充与复数的引入 苏教版选修2-21怎样学好复数复数系是高中阶段对原有的实数系的一次大扩充，为了帮助同学们更好地把握复数的概念、复数的运算及其几何意义，现从以下几方面加以总结一、一个核心复数问题实数化是解决复数问题的基本原则，即最终都统一到abi(a，bR)这一代数形式上来二、三个热点1注意扩充后的实数系与其他数系的联系正整数、自然数、整数、有理数、实数、复数之间用集合关系可表示为N*NZQRC，且还有R虚数C，R虚数，Q无理数R，Q无理数.2注意复数相等的条件复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要方法，注意前提条件是a，b，c，dR.若忽略这一条件，则不能成立3注意复数的几何应用复数zabi(a，bR)与平面上的点Z(a，b)形成一一对应关系，从而与向量一一对应(其中O为原点)；在解决有关复数问题时，可以利用复数加减的几何意义和向量的几何表示在复平面上结合图形进行解决三、四个策略1复数相等策略：主要用于解复数方程，一般都是求其中的实系数(参数)值，在应用时，首先要看参数是否为实数2分母实数化策略：在进行复数除法或解答与复数商有关的问题时，一般采用此策略，通过分母实数化，把求商的值或商形式的复数的实部和虚部分离开来，复数分式的分母实数化类似于无理分式的分母有理化3点、向量策略：复数与复平面内的点一一对称，复数的实部和虚部分别是点的横、纵坐标，因此，我们可通过复数实部和虚部的符号来判定复数对应的点所在的象限我们又可以把复数视为向量，利用它们的几何意义和向量知识解答问题，利用这个策略可化数为形，从而使待解问题直观化4整体策略：要学会从整体出发去分析问题如果遇到复数就设zabi(a，bR)，有时会给问题的解答带来运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍.2化虚为实复数相等的妙用在汉语中，两个或两个以上才有“复”的内涵，这样我们才有理由称由实数确定的含虚数单位i的数zabi(a，bR)为复数那么复数集C的理论体系与实数集R的理论体系之间存在着怎样的联系和差异呢？1对于复数zabi(a，bR)，如果b0，则z就是我们过去熟知的实数因此，学习复数，后续理论的一个基本点是“b0”2解决复数问题的一条主线是化虚为实其实质就是复数相等的充要条件，即实部与虚部分别相等利用复数相等的的充要条件可以解决求根、求模及求参数等问题，现精选几个典例，供大家赏析一、求参数例1已知x，yR，x22x(2yx)i3x(y1)i，求复数zxyi.解由复数相等的充要条件，得解得或所以zi，或z1.点评复数相等的充要条件是复数实数化的桥梁，是解复数问题的重要手段二、求模例2若复数z满足z2i|z|，求|z|.解设zabi(a，bR)，则由题意得，abi2i，即(a2)bii，由复数相等的充要条件得，解得所以zi，所以|z|.三、求方程的根例3已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实数根，求实数根x0及k的值分析设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解解设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(xkx02)(2x0k)i0.由复数相等的充要条件得，解得或.所以x0的值为，相应的k的值为2.易错警示求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以(k2i)24(2ki)0，解得k2或k2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.3复数有了“形”才完美因为有了复平面，使得复数与复平面内点的坐标、平面向量三者之间有了一一对应关系，复数的有关问题借助平面向量或几何意义能使问题的解决更加快捷和直观下面用实例来说明一、复数与点坐标例1若i为虚数单位，图中复数平面内的点Z表示复数z，则表示复数z(1i)的点是_解析因为点Z的坐标为(2，1)，所以z2i.所以z(1i)(2i)(1i)3i，即该复数对应的点的坐标为(3,1)答案H点评本题主要考查复数的几何意义，体现了数形结合的思想复数的几何表示：复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应这种以点的坐标形式给出复数的题目打破了原来的出题方式，给人耳目一新的感觉二、复数与平面向量例2设复数z1，z2满足|z1|z2|4，|z1z2|4，求|z1z2|.分析设复数z1和z2在复平面内表示向量与，则复数z1z2表示向量与的和，画出复数所对应的向量，用余弦定理可求解解复数z1和z2在复平面内表示向量与，画出如图所示的平行四边形，依题意，有|4，|4，|4.cosOBC.因为AOBOBC180，所以cosAOB.所以AB24242244cosAOB16，得AB4，即|z1z2|4.点评解决此类问题是要根据已知条件画出图形，通过图形得到数量关系，由复数与向量的一一对应关系，把复数问题转化为向量问题三、复数方程的几何意义例3已知复数zxyi(x，yR)，且|z2|，求的最大值与最小值分析利用复数的几何意义可知，|z2|的轨迹为一个圆，就是圆上的点与原点连线的斜率解复数z在复平面上对应的点Z(x，y)在以C(2,0)为圆心、为半径的圆上，而的几何意义是点Z(x，y)与原点连线的斜率，当连线与圆C相切时，连线的斜率分别取到最大值，最小值.点评|z(abi)|r的几何意义为复平面上以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆，清楚常见的轨迹方程的复数形式，就不用再转化为普通方程了4复数四则运算的方法与技巧对于复数的运算问题，若能总结其变化规律，掌握解答复数题的方法和技巧，定能快速、简捷地解题现举例说明1灵活运用一些结论利用结论：i21，i41，(1i)22i，31，可以使一些复数问题得到简捷、快速的解决例1计算：()7()7.分析本题考查复数的运算法则，运用1ii(1i)，1ii(i)对式子进行化简解原式777727272(1i)23(1i)(i)772(8i)(1i)i88(88)i.点评先化为同类项，再凑成n形式注意31的应用2挖掘隐含条件所谓隐含条件，就是隐藏在题目之中但又没有明确说明的条件挖掘出这些隐含条件，往往能使解题变得事半功倍例2计算：.分析本题直接运用复数除法运算，比较繁琐，注意到分子、分母中实部和虚部的关系，可将分子、分母同乘以i来处理解i.3差异分析通过分析条件和结论之间的差异，促使两者向统一的方向发展，往往能使问题简捷获解例3已知z71(zC，且z1)，求1zz2z3z4z5z6的值分析整体思考1zz2z3z4z5z6，乘以z即可解决问题解因为z(1zz2z3z4z5z6)zz2z3z4z5z6z71zz2z3z4z5z6，所以z(1zz2z3z4z5z6)(1zz2z3z4z5z6)0.所以(z1)(1zz2z3z4z5z6)0.又z1，所以1zz2z3z4z5z60.5复数中的易错点一、对概念理解不清致误例1给出下列命题：(1)若(a21)(a23a2)i(aR)是纯虚数，则实数a1；(2)1i2是虚数；(3)在复平面中，实轴上的点均表示实数，虚轴上的点均表示纯虚数其中真命题的个数为_错解(1)若(a21)(a23a2)i(aR)是纯虚数，则a210，解得a1，故正确；(2)因为1i2中含有i，所以正确；(3)虚轴上所有点的横坐标都为0，故正确所以真命题的个数为3.错因分析(1)对复数zabi(a，bR)为纯虚数的条件把握不准；,(2)复数未化简到最简形式就判断类型；,(3)未注意原点在虚轴上.正解(1)若(a21)(a23a2)i(aR)是纯虚数，则a210且a23a20，解得a1，所以错误；(2)1i2110是实数，所以错误；(3)除原点外虚轴上的点均表示纯虚数，原点对应的复数为0，所以错误故答案为0.点评将复数化为标准代数形式，并正确理解复数是实数、虚数和纯虚数的条件，以及复数的几何意义是避免此类错误的关键二、忽视题中的隐含条件致误例2m取何值时，复数z(m26m7)i(mR)是实数？错解要使z为实数，需m26m70，解得m1或m7，即m1或m7时，z是实数正解要使z为实数，需解得m1.即m1时，z是实数点评研究一个复数在什么情况下是实数、虚数时，要注意复数的实部、虚部有意义这一隐含条件三、忽视复数相等的前提条件致误例3已知xC，x24x3(x1)i0，求x.错解由复数相等的定义，得解得x1.错因分析未注意xC，误把x24x3(x1)i看成abi(a，bR)的标准形式，错用复数相等的前提条件.正解原方程可化为(x1)(x3)(x1)i0，即(x1)(x3i)0，故x10或x3i0，解得x1或x3i.点评复数相等的充要条件的用途非常广泛，是复数问题实数化的主要途径，但应用其解题时，需审清题意，注意复数相等的前提条件，并将复数化为标准代数形式四、忽视复数不一定能比较大小致误例4求使不等式m2(m23m)i10(m24m3)i成立的实数m满足的条件错解由解得m或3mcdi(a，b，c，dR)D/ac，且bd.正解因为不等式两边必须都是实数，所以有解得m3.点评虚数不能比较大小，两个复数能比较大小的前提条件是它们均是实数在解决这类问题时，要注意挖掘表达式中的隐含条件五、误用实数中的运算律例5式子()5的化简结果是_错解15(1)i.错解2511.错因分析实数中的幂的运算法则(ar)sars是在条件“a0，r，sR”限制下进行的，在复数集中(ar)sars是在条件“r，sN*”限制下进行的，所以不能盲目推广.正解54(i)4(i)i.点评实数中的有些运算律和常用结论在复数范围内要慎用六、误用实系数方程0例6已知关于t的一元二次方程t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR)有实数根，求点(x，y)的轨迹方程错解方程有实根，(2i)2412xy(xy)i0，44i14(2xyxiyi)0，38xy(44x4y)i0.xy1且xy.点(x，y)的轨迹为直线的一部分正解(1)设实根为t，则t2(2i)t2xy(xy)i0，即(t22t2xy)(txy)i0，根据复数相等的充要条件得由得tyx，代入得(yx)22(yx)2xy0，即(x1)2(y1)22，所求点的轨迹方程为(x1)2(y1)22，轨迹是以(1，1)为圆心，为半径的圆点评对于复系数一元二次方程ax2bxc0(a，b，c为复数)，讨论其根的个数时，需先设xmni(m，nR)，将上述方程利用复数相等的充要条件转化为实系数方程后再处理6复数中的数学思想数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，掌握以下两种数学思想方法，有利于复数问题的解决1化归与转化思想复数集是由实数集扩充而来的，因此实数集内的一些性质在复数集内仍然成立利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题方法例1设a，b，c，dR，若为实数，则下列式子成立的是_bcad0 bcad0bcad0 bcad0解析由已知，得i.因为为实数，所以虚部0，即bcad0.答案点评这里先把分母“实数化”，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，这是解决复数问题的常见思路2数形结合思想由于复数既可以用代数形式也可以用几何形式表示，因此解复数题常以形助数，数形结合例2求满足条件|z|1，且的复数z的集合解因为|z|1，所以z在复平面内对应的点在单位圆上又，所以z在复平面内对应的点在直线x上，如图所示由图形可知只有点A，B所表示的复数满足条件易得点A，B的坐标分别为，.所以点A，B所对应的复数分别为i和i.故复数z的集合是.点评本题充分挖掘出复数所隐含的几何因素，通过构造图形，借助几何计算，有效地实现了“复数问题实数化”