高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时提升作业 新人教版必修4

课时提升作业(二十三)平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015朔州高一检测)已知a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.【解析】选C.设a与b夹角为，则a在b方向上的投影|a|cos=，因为a=(2，3)，b=(-4，7)，所以ab=(2，3)(-4，7)=2(-4)+37=13，|b|=，所以|a|cos=.2.以下选项中，一定是单位向量的有()a=(cos，-sin)；b=(，)；c=(，1)；d=(1-x，x).A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】解答本题，一方面要注意向量模的坐标公式的应用，另一方面要注意同角三角函数的平方关系、对数运算、指数运算和函数最大值的求法的应用.【解析】选B.因为|a|=1，|b|=1，|c|=1，|d|=.所以a，b是单位向量，c不是单位向量，d不一定是单位向量.3.(2015福建高考)设a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb，若bc，则实数k的值等于()A.-B.-C.D.【解析】选A.c=a+kb=(1+k，2+k)，因为bc，所以bc=0，即1+k+2+k=0k=-.【补偿训练】(2015温州高一检测)已知a=(-3，2)，b=(-1，0)向量a+b与a-2b垂直，则实数的值为()A.-B.C.-D.【解析】选A.向量a+b=(-3-1，2)，a-2b=(-1，2)，因为两个向量垂直，故有(-3-1，2)(-1，2)=0，即3+1+4=0，解得=-.4.设x，yR，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)且ac，bc，则|a+b|=()A.B.C.2D.10【解析】选B.由ac得2x+1(-4)=0，所以x=2；由bc得1(-4)=2y，所以y=-2.从而a=(2，1)，b=(1，-2)，所以a+b=(3，-1)，所以|a+b|=.5.(2015景德镇高一检测)已知平面向量a=(2，4)，b=(-1，2)，若c=a-(ab)b，则|c|等于()A.4B.2C.8D.8【解析】选D.ab=2(-1)+42=6，所以c=(2，4)-6(-1，2)=(8，-8)，所以|c|=8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.设向量a与b的夹角为，且a=(3，3)，2b-a=(-1，-1)，则cos=_.【解析】b=a+(-1，-1)=(1，1)，则ab=6.又|a|=3，|b|=，所以cos=1.答案：1【一题多解】本题还可以采用以下方法由已知得：b=(1，1).又a=(3，3)，所以ab，且同向.故=0，cos=1.答案：17.(2015南平高一检测)已知a=(1，3)，b=(2+，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.【解析】设向量a与b的夹角为，因为为锐角，所以cos0，且cos1，即ab0，且a与b方向不同，由ab0，得1(2+)+31=+50，所以-5.当a与b方向相同时设b=a，即(2+，1)=(1，3)，所以解得故-.所以.答案：【误区警示】解答本题易因思考不全面，误认为a与b的夹角为锐角cos0，导致错误.实际上，当a与b同向时，即a与b的夹角为0时，cos=10，此时=-，显然是不合理的.【补偿训练】已知a=(-2，-1)，b=(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围为_.【解析】由题意cos=，因为90180，所以-1cos0，所以-10，所以即即所以的取值范围是(2，+).答案：(2，+)8.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_.【解析】以点B为原点，以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，所以=(2，-1)，=(2，2)，所以=2.答案：2【一题多解】因为ABCD是正方形，所以=+，=0，因为E为CD的中点，所以=-，所以=+=-.所以=(+)=-=22-22=2.答案：2【延伸探究】本题中，若增加条件“点F在边AD上，=2”，试求的值.【解析】建立平面直角坐标系如图，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为=2，所以F.所以=(2，1)，=-(2，0)=，所以=(2，1)=2+12=.三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015漳州高一检测)已知平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，xR.(1)若ab，求x的值.(2)若ab，求|a-b|.【解析】(1)若ab，则ab=(1，x)(2x+3，-x)=1(2x+3)+x(-x)=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3.(2)若ab，则1(-x)-x(2x+3)=0，即x(2x+4)=0.解得x=0或x=-2.当x=0时，a=(1，0)，b=(3，0)，|a-b|=|(1，0)-(3，0)|=|(-2，0)|=2.当x=-2时，a=(1，-2)，b=(-1，2)，|a-b|=|(1，-2)-(-1，2)|=|(2，-4)|=2.10.(2015南昌高一检测)设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，(1)试求向量2+的模.(2)若向量与的夹角为，求cos.(3)求向量在上的投影.【解析】(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，所以=(0，1)-(1，0)=(-1，1)，=(2，5)-(1，0)=(1，5)，所以2+=2(-1，1)+(1，5)=(-1，7)，所以|2+|=5.(2)由(1)知=(-1，1)，=(1，5)，所以cos=.(3)由(2)知向量与的夹角的余弦为cos=，而|=，所以向量在上的投影为|cos=.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015肇庆高一检测)已知向量=(2，2)，=(4，1)，在x轴上有一点P使有最小值，则点P的坐标是()A.(-3，0)B.(2，0)C.(3，0)D.(4，0)【解析】选C.设点P的坐标为(x，0)，则=(x-2，-2)，=(x-4，-1).=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时，有最小值1，所以点P的坐标为(3，0).【补偿训练】如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是()A.2B.1+C.D.4【解析】选A.令OAD=，由于AD=1，故OA=cos，OD=sin，BAx=-，AB=1，故xB=cos+cos=cos+sin，yB=sin=cos，故=(cos+sin，cos)，同理可求得C(sin，cos+sin)，即=(sin，cos+sin)，所以=(cos+sin，cos)(sin，cos+sin)=1+sin2，=1+sin2的最大值是2.2.已知向量a=(1，1)，b=(1，m)，其中m为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，m的范围是()A.(0，1)B.C.(1，)D.(1，)【解析】选C.已知=(1，1)，即A(1，1)如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即AOB1=AOB2=，此时，B1Ox=-=，B2Ox=+=，故B1，B2(1，)，又a与b夹角不为零，故m1，由图易知m的范围是(1，).二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知a=，b=，则向量a+b与-2(a-b)的夹角为_.【解析】设夹角为，因为|a|=1，|b|=1，ab=0，所以(a+b)-2(a-b)=-4，又|a+b|=2，|-2(a-b)|=4，所以=.答案：【补偿训练】已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选A.因为=(-3，3)，=(1，1)，所以=0.4.(2015安溪高一检测)若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则=_.【解析】建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0，3)，B(-，0)，M(0，2)，所以=(0，1)，=(-，-2).所以=-2.答案：-2【补偿训练】设A(a，1)，B(2，b)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为()A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=14【解析】选A.因为与在方向上的投影相同，所以=所以4a+5=8+5b，所以4a-5b=3.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015日照高一检测)已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4).(1)求证：ABAD.(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.【解析】(1)因为A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)，所以=(1，1)，=(-3，3).又=1(-3)+13=0，所以，即ABAD.(2)因为，四边形ABCD为矩形，所以=.设C点的坐标为(x，y)，则=(x+1，y-4)，从而有即所以C点的坐标为(0，5).又=(-4，2)，|=2，所以矩形ABCD的对角线的长度为2.6.(2015惠州高一检测)已知=(2，1)，=(1，7)，=(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).(1)求使取得最小值时的.(2)对(1)中求出的点C，求cosACB.【解析】(1)因为点C是直线OP上的一点，所以向量与共线，设=t(tR)，则=t(2，1)=(2t，t)，所以=-=(1-2t，7-t)，=-=(5-2t，1-t)，所以=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8.所以当t=2时，取得最小值，此时=(4，2).(2)由(1)知=(4，2)，所以=(-3，5)，=(1，-1)，所以|=，|=，=-3-5=-8.所以cosACB=-.