高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业 新人教版必修4

课时提升作业(二十八)二倍角的正弦、余弦、正切公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列各式中，值为的是()A.2sin 15cos 15B.cos215-sin215C.2sin215D.sin215+cos215【解析】选B.cos215-sin215=cos 30=.2.已知sin=，cos=-，则角所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为sin=2sincos=2=-0，cos=cos2-sin2=-=-0，所以是第三象限角.3.(2015乐山高一检测)若tan=3，则的值等于()A.2B.3C.4D.6【解析】选D.=2tan=23=6.【延伸探究】若本题条件不变，则的值如何？【解析】=2+2tan=2+23=8.4.已知R，sin+2cos=，则tan2=()A.B.C.-D.-【解析】选C.本题考查三角函数同角间的基本关系.将sin+2cos=两边平方可得sin2+4sincos+4cos2=.将左边分子分母同除以cos2得，=，解得tan=3或-，所以tan2=-.5.(2015成都高一检测)在ABC中，若|=2sin15，|=4cos15，且ABC=30，则的值为()A.B.-C.2D.-2【解析】选B.因为|=2sin15，|=4cos15，且ABC=30，所以=|cos150=2sin154cos15=-2sin30=-2=-.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015合肥高一检测)已知，sin=，则tan2=_.【解析】由，sin=，得cos=-，tan=-，tan2=-.答案：-7.化简：tan70cos10(tan20-1)的结果是_.【解析】原式=cos10=cos10-cos10=cos10-=-1.答案：-1【误区警示】解答本题在切化弦通分后易忽视应用辅助角公式进一步化简.【补偿训练】计算coscoscos=_.【解析】原式=.答案：8.已知角的终边经过点(-8，-6)，则=_.【解题指南】先利用定义求出的三角函数，而后化简所求式即可.【解析】因为点(-8，-6)到原点的距离r=10，所以sin=-，cos=-.=-2cos-2sin=-2-2=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015泰州高一检测)已知为第二象限角，且sin=，求的值.【解析】原式=.因为为第二象限角，且sin=，所以sin+cos0，cos=-，所以原式=-.【补偿训练】已知sinsin=，求sin4的值.【解析】因为sinsin=sincos=，所以sin=，即cos2=.因为，所以2(，2).所以sin2=-=-.所以sin4=2sin2cos2=2=-.10.(2015吉林高一检测)已知向量m=(cos-，-1)，n=(sin，1)，m与n为共线向量，且.(1)求sin+cos的值.(2)求的值.【解析】(1)因为m与n为共线向量，所以1-(-1)sin=0，即sin+cos=.(2)因为1+sin2=(sin+cos)2=，所以sin2=-，因为(sin+cos)2+(sin-cos)2=2，所以(sin-cos)2=2-=.又因为，所以sin-cos0，sin-cos=-.因此，=.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若，且sin2+cos2=，则tan的值等于()A.B.C.D.【解析】选D.由二倍角公式可得sin2+1-2sin2=，即-sin2=-，sin2=，又因为，所以sin=，即=，所以tan=.2.(2015昆明高一检测)若=-，则sin+cos的值为()A.-B.-C.D.【解析】选C.cos2=sin=-sin=-sin2=-2sincos，=-，所以2cos=1，展开得2=1，即cos+sin=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015黄冈高一检测)若sin=，则cos=_.【解析】已知sin=，且+=，则cos=sin=，故cos=2cos2-1=-.答案：-4.已知是第三象限角，且sin4+cos4=，那么sin2等于_.【解析】sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-sin22，又sin4+cos4=，所以1-sin22=，即sin22=，因为是第三象限角.所以2k+2k+(kZ)，所以4k+220，所以sin2=.答案：【延伸探究】若cos2=，试求sin4+cos4.【解析】因为cos2=，所以sin22=.所以sin4+cos4=1-2sin2cos2=1-sin22=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知向量a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最大值及相应的x值；(2)若f()=，求cos2的值.【解题指南】用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解.【解析】(1)因为a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=sin+1.因此，当2x-=2k+，即x=k+(kZ)时，f(x)取得最大值+1.(2)由f()=1+sin2-cos2及f()=得sin2-cos2=，两边平方得1-sin4=，即sin4=.因此，cos2=cos=sin4=.6.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213+cos217-sin13cos17；sin215+cos215-sin15cos15；sin218+cos212-sin18cos12；sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos48；sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos55.(1)请根据式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解析】方法一：(1)计算如下：sin215+cos215-sin15cos15=1-sin30=1-=.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=.证明如下：sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=sin2+(cos30cos+sin30sin)2-sin(cos30cos+sin30sin)=sin2+cos2+sincos+sin2-sincos-sin2=sin2+cos2=.方法二：(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=.证明如下：sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=+-sin(cos30cos+sin30sin)=-cos2+(cos60cos2+sin60sin2)-sincos-sin2=-cos2+cos2+sin2-sin2-(1-cos2)=1-cos2-+cos2=.