高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案 北师大版选修1-2

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案 北师大版选修1-2自我校对1ac，bdabiZ(a，b)Oac(bd)i(ac)(bd)i_复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR；(2)z为虚数【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解【规范解答】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以由得x4，经验证满足式所以当x4时，zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以由得x或x3.所以当x且x4时，z为虚数再练一题1设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3B1C1D3(2)设复数z满足i(z1)32i(i是虚数单位)，则复数z的实部是_【解析】(1)因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.(2)法一：设zabi(a，bR)，则i(z1)i(abi1)b(a1)i32i.由复数相等的充要条件，得解得故复数z的实部是1.法二：由i(z1)32i，得z123i，故z13i，即复数z的实部是1.【答案】(1)D(2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i21)，除法运算注意应用共轭的性质z为实数(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i()A2B2i C2D2i(2)设复数z满足(z2i)(2i)5，则z()A23iB23i C32iD32i【精彩点拨】(1)先求出及，结合复数运算法则求解(2)利用方程思想求解并化简【规范解答】(1)z1i，1i，1i，i1ii(1i)(1i)(1i)2.故选C.(2)由(z2i)(2i)5，得z2i2i2i2i23i.【答案】(1)C(2)A再练一题2已知(12i)43i，则的值为()A.iBiCiDi【解析】因为(12i)43i，所以2i，所以z2i，所以i.【答案】A复数的几何意义1.复数的几何表示法：即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解2复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变(1)在复平面内，复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为()A(0，1)B(0,1)C.D【精彩点拨】先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标【规范解答】(1)复数i.复数对应点的坐标是.复数在复平面内对应的点位于第一象限故选A.(2)i，其对应的点为(0，1)，故选A.【答案】(1)A(2)A再练一题3(1)已知复数z对应的向量如图41所示，则复数z1所对应的向量正确的是()图41(2)若i为虚数单位，图42中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()图42AEBFCGDH【解析】(1)由题图知，z2i，z12i11i，故z1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z3i，所以2i，则其在复平面上对应的点为H(2，1)【答案】(1)A(2)D转化与化归思想一般设出复数z的代数形式，即zxyi(x，yR)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法设zC，满足zR，z是纯虚数，求z.【精彩点拨】本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.【规范解答】设zxyi(x，yR)，则zxyii，zR，y0，解得y0或x2y21，又zxyiyi是纯虚数x，代入x2y21中，求出y，复数zi.再练一题4满足z是实数，且z3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由【解】设虚数zxyi(x，yR，且y0)，则zxyixi，z3x3yi.由已知，得因为y0，所以解得或所以存在虚数z12i或z2i满足题设条件1(2016全国卷)设复数z满足zi3i，则()A12iB12iC32iD32i【解析】由zi3i得z32i，32i，故选C.【答案】C2(2015广东高考)若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则()A23iB23i C32iD32i【解析】zi(32i)3i2i223i，23i.【答案】A3(2015山东高考)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1iB1i C1iD1i【解析】由已知得i(1i)i1，则z1i，故选A.【答案】A4(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3B2 C2D3【解析】(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.【答案】A5(2016北京高考)复数()AiB1iCiD1i【解析】i.【答案】A6(2016四川高考)设i为虚数单位，则复数(1i)2()A0B2C2iD22i【解析】(1i)212ii22i.【答案】C7(2016天津高考)i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_【解析】因为(1i)z2，所以z1i，所以其实部为1.【答案】18(2016江苏高考)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_【解析】因为z(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.【答案】5章末综合测评(四)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a，bC，下列命题正确的是()A3i5iBa0|a|0C若|a|b|，则abDa20【解析】A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，bR时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|，但ii或i；D选项中，当aR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i210，b24b5(b2)210.复数对应的点在第四象限故选D.【答案】D10如果复数z3ai满足条件|z2|2，那么实数a的取值范围是()A(2，2)B(2,2)C(1,1)D(， )【解析】因为|z2|3ai2|1ai|2，所以a214，所以a23，即a.【答案】D11若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()Ab2，c3Bb2，c3Cb2，c1Db2，c1【解析】因为1i是实系数方程的一个复数根，所以1i也是方程的根，则1i1i2b，(1i)(1i)3c，解得b2，c3.【答案】B12设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20【解析】设zabi(a，bR)，选项A，z2(abi)2a2b22abi0，则故b0或a，b都为0，即z为实数，正确选项B，z2(abi)2a2b22abi0，则则故z一定为虚数，正确选项C，若z为虚数，则b0，z2(abi)2a2b22abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误选项D，若z为纯虚数，则则z2b20，正确【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13(2015重庆高考)设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_.【解析】|abi|，(abi)(abi)a2b23.【答案】314a为正实数，i为虚数单位，2，则a_.【解析】1ai，则|1ai|2，所以a23.又a为正实数，所以a.【答案】15设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_【解析】abi53i，依据复数相等的充要条件可得a5，b3.从而ab8.【答案】816若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_【解析】设zxyi(x，yR)，则由|zi|可得，即x2(y1)22，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)计算：(1)(i)2(45i)；(2)2 016.【解】(1)(i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i)2016i.(2)20161 008i(1i)1 0081i(i)1 0081i1i.18(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值【解】由得解得将x，y代入得(54a)(6b)i98i，所以所以a1，b2.19(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】(1)当k25k60，即k6或k1时，z是实数(2)当k25k60，即k6且k1时，z是虚数(3)当即k4时，z是纯虚数(4)当即k1时，z是0.20(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积【解】(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，所以SABC1.21(本小题满分12分)已知复数z1i，z2i，z32i，z4在复平面上对应的点分别是A，B，C，D. 【导学号：67720028】(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知2 ，求点P对应的复数【解】(1)证明：|z1|z2|z3|z4|，即|OA|OB|OC|OD|，A，B，C，D四点都在圆x2y25上，即A，B，C，D四点共圆(2)A(0，)，B(，)，(，)设P(x，y)，则(x，y)，若2 ，那么(，)(2x,2y2)，解得点P对应的复数为i.22(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量O1，O2分别对应复数z1，z2，且z1(10a2)i，z2(2a5)i，aR.若1z2可以与任意实数比较大小，求O1O2的值【解】由题意，得1(10a2)i，则1z2(10a2)i(2a5)i(a22a15)i.因为1z2可以与任意实数比较大小，所以1z2是实数，所以a22a150，解得a5或a3.又因为a50，所以a3，所以z1i，z21i.所以O1，O2(1,1)所以O1O2(1)11.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为()AiBiC1D1【解析】因为i607i41513i3i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】A2根据二分法求方程x220的根得到的程序框图可称为()A工序流程图B程序流程图C知识结构图D组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图【答案】B3下列框图中，可作为流程图的是()A.B.C.D.【解析】流程图具有动态特征，只有答案C符合【答案】C4(2016安庆高二检测)用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除则假设的内容是()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除Da，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”【答案】B5有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理对特殊情况作出的判断此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】C6(2015安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】1i，由复数的几何意义知1i在复平面内的对应点为(1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】B7考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：种子处理种子未处理总计得病32101133不得病61213274总计93314407根据以上数据，则()A种子经过处理跟是否生病有关B种子经过处理跟是否生病无关C种子是否经过处理决定是否生病D以上都是错误的【解析】计算与可知相差很小，故选B.【答案】B8给出下面类比推理：“若2a2b，则ab”类比推出“若a2b2，则a0，则ab”类比推出“a，bC，若ab0，则ab(C为复数集)”其中结论正确的个数为()A1B2 C3D4【解析】显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以错误，正确，故选B.【答案】B9(2015全国卷)执行下面的程序框图1，如果输入的t0.01，则输出的n()图1A5B6 C7D8【解析】逐次运行程序，直至输出n.运行第一次：S10.5，m0.25，n1，S0.01；运行第二次：S0.50.250.25，m0.125，n2，S0.01；运行第三次：S0.250.1250.125，m0.062 5，n3，S0.01；运行第四次：S0.1250.062 50.062 5，m0.031 25，n4，S0.01；运行第五次：S0.031 25，m0.015 625，n5，S0.01；运行第六次：S0.015 625，m0.007 812 5，n6，S0.01；运行第七次：S0.007 812 5，m0.003 906 25，n7，S0”是“P，Q，R同时大于0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况假设P0，Q0，则PQ2b0，这与b为正实数矛盾同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】C12有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：平均气温/2356销售额/万元20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程ybxa的系数b2.4，则预测平均气温为8时该商品销售额为()A34.6万元B35.6万元C36.6万元D37.6万元【解析】4，25，所以这组数据的样本中心点是(4,25)因为b2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a15.4，所以线性回归方程为y2.4x15.4.当x8时，y34.6.故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13已知复数zm2(1i)m(mi)(mR)，若z是实数，则m的值为_【解析】zm2m2im2mi(m2m)i，m2m0，m0或1.【答案】0或114在平面几何中，ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比|AE|EB|AC|CB|(如图2)，把这个结论类比到空间，如图2，在三棱锥ABCD中，平面CDE平分二面角ACDB且与AB相交于E，结论是_图2【解析】依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比【答案】SACDSBCDAE2EB215(2015山东高考)执行下边的程序框图3，若输入的x的值为1，则输出的y的值是_图3【解析】当x1时，12，则x112；当x2时，不满足x2，则y322113.【答案】1316(2016江西吉安高二检测)已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论_. 【导学号：67720029】【解析】由等比数列的性质可知，b1b30b2b29b11b20，.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2016哈尔滨高二检测)设z，求|z|.【解】z，|z|.18(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病患其他病总计高血压201030不高血压305080总计5060110由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？(参考数据：P(26.635)0.010，P(27.879)0.005)【解】由列联表中数据可得27.486.又P(26.635)0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系19(本小题满分12分)已知a2b21，x2y21，求证：axby1(分别用综合法、分析法证明)【证明】综合法：2axa2x2,2byb2y2，2(axby)(a2b2)(x2y2)又a2b21，x2y21，2(axby)2，axby1.分析法：要证axby1成立，只要证1(axby)0，只要证22ax2by0，又a2b21，x2y21，只要证a2b2x2y22ax2by0，即证(ax)2(by)20，显然成立20(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去试画出此监督程序的流程图【解】某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：21(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：广告支出x(单位：万元)1234销售收入y(单位：万元)12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【解】(1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a，b.ixiyixxiyi1112112222845633429126445616224于是，代入公式得：b，ab2.故y与x的线性回归方程为yx2.(3)当x9万元时，y92129.4(万元)所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元22(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4，为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形图4(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值【解】(1)f(5)41.(2)因为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律，所以得出f(n1)f(n)4n.因为f(n1)f(n)4nf(n1)f(n)4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)当n2时，11.