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章末综合测评(三)指数函数和对数函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列各式正确的是()A.Blog273C.Da01【解析】A中，B中log27log3，C中，D中当a0时，a01，故选C.【答案】C2下列函数与yx有相同图像的一个函数是()AyByCyalogax(a0且a1)Dylogaax【解析】yx的定义域为R，A中y|x|，不相同，B中函数y的定义域为x|x0，不相同，C中yalogax的定义域为(0，)不相同，D中ylogaaxx，定义域为R，故与yx相同【答案】D30.32，log20.3,20.3三个数的大小关系为()A0.3220.3log20.3B0.32log20.320.3Clog20.30.3220.3Dlog20.320.30.32【解析】0.320.09，log20.30,20.31，log20.30.3220.3.【答案】C4函数y的值域是()A3,3B(，3C(0,3D3，)【解析】x22x(x1)211，yx为减函数，13.又yx22x0，故0y3.【答案】C5函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x(0，)时，f(x)lnx，那么，f(e2)()A2B2C1D无法确定【解析】因为f(x)为奇函数，故f(e2)f(e2)lne22.【答案】A6(2016天津市南开大附中高一期中)函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)【解析】令tx240，可得x2，或x1，则x0的取值范围是()A(，0)(2，)B(0,2)C(，1)(3，)D(1,3)【解析】当x02时，f(x0)1，log2(x01)1，即x03；当x01得x011，x01，x0f(1)，则x的取值范围是()A(2，) B.(2，)C.D(0,1)(2，)【解析】因为f(x)为偶函数，在0，)上为增函数且f(log2x)f(1)，所以|log2x|1，即log2x1或log2x2或0x.【答案】B10已知loga(3a1)恒为正数，那么实数a的取值范围是()Aa B.1 D.a1【解析】当a1时，由3a11得a，所以a1；当0a1时，由03a11，解得a，故a的取值范围为a1.【答案】D11函数f(x)lg(|x|1)的大致图像是()【解析】函数f(x)lg(|x|1)，f(x)lg(|x|1)f(x)，f(x)是偶函数当x0时，f(x)lg(x1)先作出lg x的图像，再向右平移1个单位，根据偶函数图像的性质，将所作出图像关于y轴对称，答案为B.【答案】B12某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距离地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图1所示，则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)()图1A6.9 mB7.0 mC7.1 mD6.6【解析】建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为yax2(a0)，设点A的坐标为(4，h)，则C(3,3h)，将这两点的坐标代入yax2，可得解得所以厂门的高约为6.9 m.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13(2016辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.【解析】yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，f(1)(1)2f(1)12，f(1)3.因此g(1)f(1)21.【答案】114已知f(x)log3x的值域是1,1，那么它的反函数的值域为_【解析】1log3x1，log3log3xlog33，x3.f(x)log3x的定义域是，f(x)log3x的反函数的值域是.【答案】15(2014全国卷)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_【解析】当x1时，x10，ex1e012，当x0时，f(x)2x，当x0时，f(x)2x.而log20，f223.【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演变步骤)17(本小题满分10分)(1)化简：12；(2)计算：lg lg lg .【解】(1)原式abaaba.(2)原式(lg 32lg 49)lg 2lg 245(5lg 22lg 7)lg 2lg 7lg 5lg 2lg 52lg 2lg 2lg 5.18(本小题满分12分)(2016江西南昌二中高一期中)已知f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)在(，1)上的单调性，并加以证明. 【导学号：04100071】【解】(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即，从而m0.(2)f(x)在(，1)上是单调增函数证明：f(x)，任取x1x21，则f(x1)f(x2).x1x21，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，恒成立，求实数m的取值范围【解】(1)法一：由于f(x)是奇函数，则f(x)f(x)0对于任意的xR都成立，即0得0，可得1a2x2xa0，即(a1)(2x1)0，因为2x0，则a10，解得a1.法二：f(x)为R上的奇函数f(0)f(0)，即f(0)0.0，a1.经检验a1时，f(x)为奇函数(2)设x1，x2R，且x1x2，f(x2)f(x1)，因为x1x2，所以02x12x2，所以2x12x20,2x110，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)0可得：ff(1)，因为f(x)是奇函数，所以ff(1)，又因为f(x)在R上是减函数，所以logm1，解得0m1，故m的取值范围是(1，)22(本小题满分12分)(2016江西南昌二中高一期中)已知函数f(x)x，函数g(x)logx.(1)若g(mx22xm)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)当x1,1时，求函数yf(x)22af(x)3的最小值h(a)；(3)是否存在非负实数m、n，使得函数ylogf(x2)的定义域为m，n，值域为2m,2n，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由【解】(1)g(x)logx，yg(mx22xm)log (mx22xm)令umx22xm，则ylogu.当m0时，u2x，ylog2x的定义域为(0，)，不成立；当m0时，ylogu的定义域为R，解得m1，综上所述，m1.(2)yf(x)22af(x)32x2ax32ax3，x1,1令tx，则t，yt22at3，t，2对称轴为ta，当a时，t时，h(a)ymina；当a2时，ta时，h(a)ymin3a2；当a2时，t2时，h(a)ymin74a.综上所述，h(a)(3)ylogf(x)2logx2x2，假设存在，由题意，知解得存在m0，n2，使得函数ylogf(x2)的定义域为0,2，值域为0,4
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