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第四讲数学归纳法证明不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12B12C13 D11，n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为，故选B.答案：B2用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)的过程中，由nk递推到nk1时，等式左边增加的项为()A(2k)2 B(2k3)2C(2k1)2 D(2k2)2解析：把k1代入(2n1)2得(2k21)2即(2k1)2，选C.答案：C3设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：凸n1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(n)n1条对角线，故选C.答案：C4观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2解析：观察归纳知选A.答案：A5欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2nn3，那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A1 B9C10 Dn10，且nN解析：由2101 024103知，故应选C.答案：C6用数学归纳法证明：1(nN*，n2)时，由“k到k1”，不等式左端的变化是()A增加一项B增加和两项C增加和两项，同时减少一项D以上都不对解析：因f(k)，而f(k1)，故f(k1)f(k)，故选C.答案：C7用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，若nk时，命题成立，欲证当nk1时命题成立，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：由34(k1)152(k1)18134k12552k12534k12534k15634k125(34k152k1)，故选A.答案：A8用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)”时，从nk到nk1等式的左边需增乘代数式为()A2k1 B.C. D.解析：左边当nk时最后一项为2k.左边当nk1时最后一项为2k2，又第一项变为k2，需乘.答案：C9数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2 Bn2C3n1 D4n3解析：计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2故应选B.答案：B10用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak2B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：当nk时，左端1123k2，当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2，故应选D.答案：D11用数学归纳法证明“n1(nN*)”的第二步证nk1时(n1已验证，nk已假设成立)这样证明：.证明：利用贝努利不等式(1x)n1nx(nN，n2，x1，x0)的一个特例212，得1，k分别取1,2,3，n时，n个不等式左右两边相乘，得(11).即(11)成立21(12分)是否存在常数a，b，c使等式(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？证明你的结论解析：存在分别有用n1,2,3代入，解方程组下面用数学归纳法证明(1)当n1时，由上式可知等式成立；(2)假设当nk时等式成立，则当nk1时，左边(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k212)2(k222)k(k2k2)(2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1)(k1)4(k1)2.由(1)(2)得等式对一切的nN均成立22(14分)对于数列an，若a1a(a0，且a1)，an1a1.(1)求a2，a3，a4，并猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想解析：(1)a1a，an1a1，a2a1a，a3a1，同理可得a4猜想an.(2)当n1时，右边a1，等式成立假设当nk时(kN*)，等式成立，即ak，则当nk1时，ak1a1，这就是说，当nk1时，等式也成立，根据可知，对于一切nN*，an成立
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