高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 第1节 数系的扩充与复数的引入（第2课时）学案 北师大版选修1-21

1.2复数的有关概念1理解复数的有关概念及两个复数相等的充要条件2了解复平面的概念，理解并掌握复数的几何意义1abicdi(a，b，c，dR)的充要条件为_【做一做1】 复数43aa2i与复数a24ai相等，则实数a的值为()A1 B1或4 C4 D4由复数相等的概念，我们就可以进行复数的运算、变形，使用时要注意搞清楚复数的实部、虚部分别是什么特别地，abi0ab0.2当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为_，x轴称为_，y轴称为_【做一做2】 复数z34i在复平面内的对应点关于虚轴的对称点对应的复数为()Az34i Bz34iCz34i Dz34i表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上3任一个复数zabi与复平面内的点_一一对应，也与平面向量_是一一对应的【做一做3】 若复数zabi(a，bR)对应的点位于复平面的第四象限，则bai对应的点位于复平面的第_象限建立了复平面，就可以把复平面内的点与复数建立对应关系，就可以用复平面内的点来表示复数，也可以把复数与复平面内的向量联系起来，即可以用复平面内的向量表示复数4设复数zabi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作_，记作|z|，显然_【做一做4】 若2aibi，其中a，bR，i是虚数单位，则复数zabi的模等于()A1 B2C. D5复数z的模是一个非负实数，两个不都是实数的复数不能比较大小，但是它们的模可以比较大小答案：1.【做一做1】 C由题意，得解得a4.2复平面实轴虚轴【做一做2】 C3Z(a，b)O(a，b)【做一做3】 二由题意，知a0，b0，则点(b，a)位于第二象限4复数z的模或绝对值|z|【做一做4】 C2aibia1，b2，则|z|.1复数与复平面内的向量的对应关系剖析：复平面内的点Z(a，b)与平面向量是一一对应的，故一个复数zabi与复平面内的向量(a，b)也是一一对应的，它们的关系如图所示根据复数相等的定义和向量相等的定义可知，在复平面内有无数个相等的向量与复数z对应，但从原点出发的只有一个2复数的模的几何意义剖析：复数zabi(a，bR)的模的几何意义就是复数zabi所对应的点Z(a，b)到原点的距离其中|z|r的轨迹就是以原点为圆心、以r为半径的圆，当r1时为单位圆，复数的模是实数的绝对值的概念的推广，当复数z为实数时，|z|就是实数的绝对值题型一 复数相等【例题1】 已知(2x3y)(xy1)i(xy)(3x4y)i，求实数x，y的值分析：根据复数相等的定义，将等式转化为关于x，y的方程组来求解反思：两个复数相等的充要条件是实部与实部相等，虚部与虚部相等，这样就把复数方程转化为实数方程组了做题时要注意未知量的取值范围是实数还是复数，以便能够分清复数的实部和虚部题型二 复数的几何意义【例题2】 已知复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限内，求实数x的取值范围分析：复数z与复平面内的点一一对应，由实部与虚部的符号决定复数对应的点位于第几象限反思：复数zabi在复平面内对应着唯一的点Z(a，b)根据点的位置可以确定实数x的取值范围题型三 复数的模的计算【例题3】 已知z1x2i，z2(x2a)i，对于任意xR，有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围分析：复数z与复平面内的向量对应，|z|的几何意义是复数z对应的点到原点O的距离反思：复数zabi(a，bR)的模|z|为非负实数，可以比较大小题目中的不等式对任意xR都成立，即恒成立要注意不等式的类型，不确定时要分类讨论，考虑问题要全面细心题型四 复数的模的几何意义【例题4】 已知复数z满足|z|23|z|20，说明复数z在复平面内对应的点形成的图形分析：复数z的模|z|0，可化简不等式，得到|z|的范围而|z|r表示的是以原点为圆心、以r为半径的圆，从而可知复数z对应的点形成的图形反思：复数z的模|z|就是z在复平面内对应的向量的长度|，也就是z对应的点Z到原点的距离，所以|z|r所表示的图形就是以原点为圆心，以r为半径的圆，那么|z|r就表示圆外的点，|z|r表示圆内的点若有等号，则包括边界；若没有等号，则不包括边界答案：【例题1】 解：由复数相等的定义，得解得【例题2】 解：x为实数，x26x5和x2都是实数又复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限内，实数x的取值范围是x|1x2，xR【例题3】 解：|z1|，|z2|x2a|.|z1|z2|，|x2a|x4x21x42ax2a2.(12a)x21a20恒成立当12a0，即a时，010恒成立，符合题意当即1a时，(12a)x21a20恒成立综上，a的取值范围为.【例题4】 解：由|z|23|z|20，得1|z|2，即复数z在复平面内对应的点形成的图形为以原点为圆心，分别以1和2为半径的圆所围成的圆环面，包括边界1当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：Dm1，3m20，m10.点Z(3m2，m1)在第四象限2设复数abi13i，那么ab等于()A2 B2C2i D2i答案：B3设zlog2(m23m3)ilog2(m3)(mR)，若z对应的点在直线x2y10上，则m_.答案：由已知，得log2(m23m3)2log2(m3)10，即log22(m23m3)log2(m3)2，2m26m6m26m9.m215.m.代入原方程检验知，m适合4设zC，则满足不等式1|z|3的点Z的集合是什么图形？答案：分析：由|z|r对应的图形，解答不等式对应的点的集合表示的图形解：不等式1|z|3，即|z|1和|z|3分别对应着以原点为圆心，以1和3为半径的圆，则1|z|3表示的是以原点为圆心，分别以1和3为半径的圆所围成的圆环面，不包括内边界，包括外边界5如果复数z满足|zi|zi|2，求|zi1|的最小值答案：分析：利用复数的模的几何意义进行求解解：|zi|zi|可看作是z到i与i的距离的和，z的轨迹为以i与i对应的两点A，B为端点的线段AB，如图所示|zi1|是复数z对应的点Z到1i的对应点C(1，1)的距离，线段AB上点到1i的对应点C(1，1)的距离的最小值为1.|zi1|的最小值为1.