高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 2 用数学归纳法证明不等式课后练习 新人教A版选修4-5

2016-2017学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 2 用数学归纳法证明不等式课后练习 新人教A版选修4-5一、选择题1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5 D6解析：使2nn21，经过计算知应选C.答案：C2设p(k)：1k(kN)，则p(k1)为()A1k1B1k1C1k1D上述均不正确解析：分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案：A3用数学归纳法证明：1aa2an1(a1)，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案：C4用数学归纳法证明“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：由k到k1，则左边增加了共2k项答案：C二、填空题5用数学归纳法证明：11)，第二步证明从“k到k1”，左端增加的项数是_答案：2k6设a，b均为正实数(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_(提示：利用贝努利不等式，令x)解析：由贝努利不等式(1x)n1nx，令x，n1n，n1n，即(ab)nannan1b.故MN.答案：MN三、解答题7求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)证明：(1)当n1时，等式左边2，等式右边212，等式成立(2)假设nk(kN)等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立那么nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1即nk1时等式成立由(1)(2)可知，对任何nN等式均成立8设f(n)1，由f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，.你能得到怎样的结论？并证明解析：数列1,3,7,15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式an，猜测：f(2n1).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，则f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).当nk1时不等式也成立据对任何nN原不等式均成立9是否存在常数a，b，c使得122232342n(n1)2(an2bnc)对一切nN都成立？证明你的结论解析：此题可用归纳猜想证明来思考假设存在a，b，c使题设的等式成立令n1，得4(abc)；当n2时，22(4a2bc)；当n3时，709a3bc，联立得a3，b11，c10.当n1,2,3时，等式122232342n(n1)2成立猜想等式对nN都成立，下面用数学归纳法来证明记Sn122232n(n1)2，设当nk时，上面等式成立，即有Sk.则当nk1时，Sk1Sk(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10当nk1时，等式成立综上所述，当a3，b11，c10时，题设的等式对nN均成立