高中数学 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量课时作业 北师大版选修2-1

第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课时目标1.了解空间向量的概念.2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程.3.了解空间中直线的方向向量，平面的法向量，共面向量与不共面向量的概念1空间向量(1)在空间中，既有_又有_的量，叫作空间向量(2)向量用小写字母表示，如：，或a，b.也可用大写字母表示，如：，其中_叫做向量的起点，_叫做向量的终点(3)数学中所讨论的向量与向量的_无关，称之为自由向量(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用_或_表示(5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量a，b，在空间中任取点O，作a，b，则_叫作向量a，b的夹角，记作_(6)向量夹角的范围：规定_(7)特殊角：当a，b时，向量a与b_，记作_；当a，b0或时，向量a与b_，记作_2向量、直线、平面(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线_或_的非零向量，一条直线的方向向量有_个(2)如果直线l垂直于平面，那么把直线l的_，叫作平面的法向量平面有_个法向量，平面的所有法向量都_(3)空间中，若一个向量所在直线_一个平面，则称这个向量平行该平面把_的一组向量称为共面向量一、选择题1下列命题中，假命题是()A向量与的长度相等B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量都相等2给出下列命题空间中两直线的夹角就是它们的方向向量的夹角；相互平行的向量一定共面，共面的向量也一定相互平行；空间两平面所成的二面角的大小等于它们的法向量的夹角其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D33在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，所有棱及面对角线中能表示单位向量的有向线段共有(如，只记一次)()A12条 B16条 C18条 D24条4.如图所示，三棱锥ABCD中，AB面BCD，BDC90，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90的共有()A3对 B4对C5对 D6对5已知向量，满足|，则()A. B.C.与同向 D.与同向6下列命题是真命题的是()A分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C若向量，满足|，且与同向，则D若两个非零向量与满足0，则题号123456答案二、填空题7.如图所示，两全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交成直二面角，其中心分别是M，N，则直线MN的一个方向向量是_(要填不在直线MN上的向量)8在正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是_9给出下面命题：空间任意两个向量a，b一定是共面的a，b为空间两个向量，则|a|b|ab.若ab，则a与b所在直线平行如果ab，bc，那么ac.其中假命题的序号是_三、解答题10判断以下命题的真假：(1)|a|0的充要条件是a0；(2)不相等的两个空间向量模必不相等；(3)空间中任何两个向量一定共面；(4)空间向量a，b夹角为锐角cosa，b0.11在正方体ABCDA1B1C1D1中求下列向量的夹角：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，能力提升12.如图所示，四棱锥D1ABCD中，ADDD1CD，底面ABCD是正方形，DD1面ABCD，E是AD1的中点，求，13四棱锥PABCD中，PD面ABCD，底面ABCD为正方形且PDADCD，E、F分别是PC、PB的中点(1)试以F为起点作直线DE的方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的法向量1直线的方向向量和平面的法向量是两个重要的概念，在证明线面平行，线面垂直以及求线面的夹角时，有着广泛的应用2两向量的夹角对于两向量a、b的夹角a，b的理解，除a，bb，a外还应注意由于两向量的夹角的范围为0，要注意，与，的区别和联系，即，第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量知识梳理1(1)大小方向(2)AB(3)起点(4)|a|(5)AOBa，b(6)0a，b(7)垂直ab平行ab2(1)平行重合无数个(2)方向向量无数平行(3)平行于平行于同一平面作业设计1D共线的单位向量是相等向量或相反向量2A3.A4.C5D由|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向6DA错因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面B错因为|a|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关C错空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有这种写法D对0，与共线，故正确7.或8.或910解(1)真命题(2)假命题(3)真命题(4)假命题命题(4)，当a，b0时，cosa，b10，但a，b不是锐角故命题(4)是假命题11解(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱DD1底面ABCD，AC面ABCD，ACDD1，.(2)连结AD1，则ACCD1AD1，故ACD1为正三角形，ACD1，.(3)连结A1C1，C1D，则，且A1C1D为正三角形C1A1D，.(4)连结BD，则ACBD，又ACDD1，BDDD1D，AC面BD1D，BD1面BDD1，ACBD1，.12解取CD1的中点F，连接EF，DF，则，由ADDD1CD，且D1DAD，D1DCD，DEDFEFDD1，EFD为正三角形，FED，.13.解(1)E、F分别是PC、PB的中点，EFBC，又BCAD，EFAD，取AD的中点M，连MF，则由EFDM知四边形DEFM是平行四边形，MFDE，就是直线DE的一个方向向量(2)PD面ABCD，PDBC，又BCCD，BC面PCD，DE面PCD，DEBC，又PDCD，E为PC中点，DEPC，从而DE面PBC，是面PBC的一个法向量，由(1)可知，就是面PBC的一个法向量- 7 -