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6距离的计算课时目标掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离1两点间的距离的求法设a(a1，a2，a3)，则|a|_，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB|_.2点到直线距离的求法设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外定点作AAl，垂足为A，则点A到直线l的距离d等于线段AA的长度，而向量在s上的投影的大小|s0|等于线段PA的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d.3点到平面的距离的求法设是过点P垂直于向量n的平面，A是平面外一定点作AA，垂足为A，则点A到平面的距离d等于线段AA的长度，而向量在n上的投影的大小|n0|等于线段AA的长度，所以点A到平面的距离d|n0|.一、选择题1若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A. B2 C. D.2在直角坐标系中，设A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标平面折成120的二面角后，则A、B两点间的距离为()A2 B.C. D33已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A. B. C. D.4.如图所示，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEB是等腰直角三角形，其中AEB90，则点D到平面ACE的距离为()A. B.C. D25.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A. B.C. D.6若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A. B1 C. D.题号123456答案二、填空题7已知夹在两平行平面、间的斜线段AB8 cm，CD12 cm，AB和CD在内的射影长的比为35，则和的距离为_8已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_9棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_三、解答题10已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离11在正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A1C的距离能力提升12如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a )(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小13.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点求直线AD与平面PBC的距离1点到直线的距离可以通过作垂线转化为两点间的距离，也可以利用向量形式的点到直线的距离公式计算2求点到平面的距离的三种方法：(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得(2)等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离(3)向量法：这是我们常用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离6距离的计算知识梳理1.作业设计1D由题意()(2，3)，(2，3)，PC| .2A作AEx轴交x轴于点E，BFx轴交x轴于点F，则，22222222222925423244，|2.3B建立如图所示坐标系，则(2,0,0)，(1,0,2)，cos ，sin ，A到直线BE的距离d|sin 2.4B建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1，0)，E(1,0,0)，D(0，1，2)，C(0,1,2).(0,0,2)，(1,1,0)，(0,2,2)，设平面ACE的法向量n(x，y，z)，则即令y1，n(1,1，1)故点D到平面ACE的距离d.5B以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)因O为A1C1的中点，所以O(，1)，(，0)，设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则有即取x1，则n(1,0,1)O到平面ABC1D1的距离为d.6D如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在RtABB1中，B1BABtan 60.所以AA1BB1.7. cm8.解析设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则即可取n，又(7，7,7)点D到平面ABC的距离d.9.解析如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，M，A(1,0,0)，(0,1，)，点M到平面ACD1的距离为d.又，MN平面ACD1.故MN平面ACD1，故MN到平面ACD1的距离也为d.10解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)(0,2,0)，(4,2，2)，(2,2,0)设平面GEF的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y1，z3，n(1,1,3)点B到平面EFG的距离为d|cos，n|.11解如图，以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)直线A1C的方向向量(1,1，1)点C1与直线A1C上一点C(1,1,0)的向量(0,0,1)在上的投影.点C1到直线A1C的距离d.12解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)，CMBNa(0a)，且四边形ABCD、ABEF为正方形，M(a,0,1a)，N(a，a,0)，(0，a，a1)，|.(2)由(1)知|MN|，所以，当a时，|MN|.即M、N分别移到AC、BF的中点时，|MN|的长最小，最小值为.13解如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)因此(，0，)，(0，a,0)，(，a，)，0，0，所以，即AEBC，AEDC.又BCPCC，AE平面PBC，所以AE平面PBC.又由ADBC知AD平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为|.- 9 -
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