高中数学 第三章 推理与证明 第1节 归纳与类比（第2课时）学案 北师大版选修1-21

1.2类比推理1理解类比推理的概念，能利用类比推理进行简单的推理，掌握类比推理解决问题的思维过程2理解合情推理的含义，体会并认识合情推理在数学发展中的作用1两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为_类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程学习立体几何常常通过类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论2类比推理是两类事物_之间的推理，根据解决问题的需要，可对_、_、_进行类比两类事物有一定的相似之处，可以是实数与向量、实数与复数、圆与球、平面几何与立体几何，也可以是不同的圆锥曲线数学的许多分支都有相通之处，也有可类比之处，这有助于我们研究一些陌生的问题，但利用类比推理得出的结论不一定正确，还需要严格的推理证明这一点与归纳推理类似【做一做】 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体有下列性质：各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等其中正确的是()A B C D3归纳推理和类比推理是最常见的_是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式归纳推理与类比推理都是合情推理归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力合情推理只是一种猜测，结论不一定正确答案：1类比推理2特征概念结论方法【做一做】 C3合情推理合情推理1类比推理的使用范围剖析：类比推理是根据两类不同对象在某些方面的相似之处，推测出这两类对象在其他方面也可能有相似之处两类事物的相似性或共同性是类比推理的前提，一般来说，类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，得出的结论可靠性越大2合情推理的过程剖析：合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已有的事实，寻找规律或类比其过程为.3对合情推理是科学发现和创造的基础这一问题的理解剖析：数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到的合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析加以证明题型一 等差数列与等比数列之间的类比【例题1】 已知一个等差数列an，其中a100，则有a1a2ana1a2a19n(1n19，nN)一个等比数列bn，其中b151，类比等差数列an有何结论？分析：在等差数列an中，a100，则以a10为等差中项的项和为0，如a9a11a8a12a2a18a1a190，而在等比数列bn中，b151，类似地有b1b29b2b28b14b161，从而类似的总结规律应为各项之积反思：本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比题型二 平面几何与立体几何之间的类比【例题2】 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在ABCD中，有AC2BD22(AB2AD2)，那么在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ACBDCADB等于()A2(AB2AD2AA) B3(AB2AD2AA)C4(AB2AD2AA) D4(AB2AD2)反思：由平面几何发展到空间立体几何，往往有许多相似之处，有许多结论可以进行类比得到，只不过是由二维变成三维而已题型三 不等式结论的类比【例题3】 若a1，a2R，则有不等式2成立，此不等式能推广吗？如果能，请你至少写出两个不同类型的推广分析：注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n次又怎样变化呢？注意思维要发散反思：像这样的类比推广问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广横向推广；第二种类型是从指数上进行推广纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广题型四 圆锥曲线中的类比【例题4】 有对称中心的曲线叫作有心曲线，显然，椭圆、双曲线都是有心曲线过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径定理：过圆x2y2r2(r0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值1.(1)写出定理在椭圆1(ab0)中的推广；(2)写出定理在双曲线1(a0，b0)中的推广，你能从上述结论中得到有心圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线)的一般性结论吗？请写出你的结论分析：本题引进了新概念在理解新概念的基础上，利用类比推理和归纳推理得出一般性的结论反思：在类比时，要注意相同之处，并抓住差异进行合理的类比圆中的斜率之积为1，但椭圆、双曲线中，x2，y2项的系数不同，所以斜率之积不再是1，而是，.从而归纳出Ax2By21的一般性结论只与x2，y2项的系数有关答案：【例题1】 解：在等差数列an中，a100，a1a19a2a18a8a12a9a110，即1n19时，a19nan10，a18nan20，a17nan30，a1a2ana1a2a19n.在等比数列bn中，b151，b1b29b2b28b14b161，即b29nbn1b28nbn2b14b161.b1b2bnb1b2b29n(1n29，nN)【例题2】 C如图所示，四边形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四边形，从而有ACCA2(AC2AA)，BDDB2(BD2BB)，所以ACCABDDB2(AC2BD2)4AA4(AB2AD2AA)【例题3】 解：第一种类型：2，2，2.第二种类型：3，4，n.第三种类型：3，4n.【例题4】 解：(1)在椭圆中的推广：过椭圆1(ab0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值.(2)在双曲线中的推广：过双曲线1(a0，b0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值.在有心圆锥曲线中的推广：过有心圆锥曲线Ax2By21(AB0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值.1平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由类比思想，我们可以得到()A空间中平行于同一条直线的两条直线平行B空间中平行于同一个平面的两条直线平行C空间中平行于同一条直线的两个平面平行D空间中平行于同一个平面的两个平面平行答案：D一般来说平面几何中的线要类比到空间中的平面，所以虽然选项A中结果正确，却不能算作类比结果2等比数列an满足：m，n，p，qN，若mnpq，则amanapaq.由类比推理可得an为等差数列，若mnpq，则()Aamanapaq BamanapaqC. Damanapaq答案：B3下面类比推理所得结论正确的是_由(ab)2a22abb2类比得(ab)2a22abb2；由|a|b|ab(a，bR)类比得|a|b|ab；由axyaxay(aR)类比得sin()sinsin；由(ab)ca(bc)(a，b，cR)类比得(ab)ca(bc)答案：逐一进行判断正确，向量的数量积运算就按多项式乘法法则运算不正确，向量既有大小，又有方向，大小相等不能说明方向相同或相反由两角和的三角函数公式可知不正确向量的数量积不满足结合律这是因为abR，bcR，但a与c不一定共线，(ab)cc，a(bc)a，所以不一定成立4若数列an(nN)是等差数列，则通项公式为(nN)的数列bn也是等差数列类比上述性质，相应地：若数列cn(nN)是等比数列，且cn0，则通项公式为dn_(nN)的数列dn也是等比数列答案：等差数列中由a1ana2an1，得，仍为等差数列而等比数列中，由c1cnc2cn1，得，仍为等比数列5类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质答案：解：(1)两个实数相加后，结果是一个实数，两个向量相加后，结果仍是一个向量(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，即：abba，abba；(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a0a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a0a.