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第20课时函数的零点课时目标1.理解函数零点的定义，会判断函数零点的存在及零点的个数2了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解3了解零点与方程根的关系识记强化1一般地，如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点2一般地，函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根的个数相等3函数f(x)的图象与x轴有公共点叫这个函数有零点，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标4如果函数f(x)在给定区间a，b上是连续不间断的，且在两个端点处的函数值f(a)f(b)0，那么该函数在给定区间(a，b)上至少有一个零点5如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1下列图象表示的函数中没有零点的是()答案：A解析：由函数零点的意义，可得函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无公共点，故选A.2二次函数f(x)ax2bxc中，ac0，则函数的零点个数是()A1 B2C0 D无法确定答案：B解析：b24ac，ac0，0，方程ax2bxc0有两个根，函数f(x)有两个零点3函数f(x)x23x1的零点之和为()A1 B2C3 D4答案：C4已知偶函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，且f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A一个 B两个C至少两个 D无法判断答案：B解析：由函数f(x)的性质，易知f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图所示由图象可知函数f(x)有两个零点5若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是()A1和 B1和C.和 D和答案：B解析：函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，即，g(x)6x25x1，g(x)的零点为1和，故选B.6设函数f(x)，若f(4)0，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为()A0 B1C2 D3答案：C解析：根据f(4)0，f(2)2，易求得，b5，c4，故f(x)，所以当x0时，方程f(x)x为x24x40，此方程有两个相等的实数根，即x1x22，当x0时，x2也是方程f(x)x的解，故选C.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7已知函数f(x)axb的零点为2，则函数g(x)bx2ax的零点为_答案：0，解析：由f(x)axb的零点为2，得2ab0，即b2a，则g(x)bx2ax2ax2ax.令2ax2ax0，由题意，知a0，则x0或x，则g(x)的零点为0和.8函数yx25x14的零点为_答案：2或7解析：解二次方程x25x140可得x2或7.9已知关于x的方程x2(2m8)xm2160的两个实根为x1和x2，且满足x2x1，则实数m的取值范围是_答案：(，)解析：关于x的方程x2(2m8)xm2160的两个实根x1、x2满足x2x1，设f(x)x2(2m8)xm216，则有f0，即(2m8)m2160，解得m|m三、解答题(本大题共4小题，共45分)10(12分)分别判断下列函数的零点的个数，并说明理由(1)f(x)x26x9；(2)f(x)x；(3)f(x).解：(1)函数f(x)x26x9的图象为开口向上的抛物线，且与x轴有唯一的公共点(3,0)，所以函数f(x)x26x9有一个零点(2)令f(x)0，得x0，即x210，解得x1，所以函数f(x)x有两个零点(3)方法一当x0时，令f(x)0，得x10，解得x1，与x0矛盾；当x0时，令f(x)0，得x10，解得x1，与x0矛盾所以函数f(x)没有零点方法二画出函数f(x)的图象，如图所示因为函数f(x)的图象与x轴没有公共点，所以f(x)没有零点11(13分)已知yf(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x2x.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的零点解：(1)设x(，0)，则x0，由题意得f(x)(x)2(x)x2x，函数f(x)是偶函数，f(x)x2x.f(x)(2)由f(x)0，得或解得x0，x1，x1，yf(x)的零点分别为1,0,1.能力提升12(5分)若函数yf(x)是偶函数，其定义域为x|x0，且f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A唯一一个 B两个C至少两个 D无法判断答案：B解析：由题意可知函数f(x)在(0，)上有且仅有一个零点，根据yf(x)是偶函数知该函数在(，0)上也有一个零点，所以选B.13(15分)如图所示，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少cm？(精确到0.1 cm)解：(1)盒子是一个底面边长是(152x)cm、高为x cm的长方体，则y(152x)2x，这个函数的定义域为(0,7.5)(2)令y150，则(152x)2x1500，令f(x)(152x)2x150，f(0)150，f(7.5)150，f(4)46.f(0)f(4)0，零点x1(0,4)，f(2)92，f(2)f(0)0，x1(0,2)，f(1)19，f(1)f(0)0，x1(0,1)，f(0.5)52，f(0.5)f(1)0，x1(0.5,1)，f(0.75)13.313，f(0.75)f(1)0，x1(0.75,1)，同理x1(0.75，0.875)，x1(0.812 5,0.875)，|0.8750.812 5|0.062 50.1，取x10.8(cm)f(4)f(7.5)0，零点x2(4,7.5)，f()f(5.75)79.563，f(5.75)f(4)0，x2(4，5.75)，f()f(4.875)15.633，f(4.875)f(4)0，x2(4,4.875)同理x2(4.4375,4.875)，x2(4.656 25,4.875)，x2(4.656 25,4.765 625)，x2(4.656 25，4.710 937 5)，|4.656 254.710 937 5|0.1，取x24.7(cm)由可知截去的小正方形边长约为0.8 cm或4.7 cm.
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