高中数学 第三章 推理与证明 3.3.2 分析法学案 北师大版选修1-2

3.2分析法1了解分析法的思维过程、特点(重点)2会用分析法证明数学问题(难点)基础初探教材整理分析法阅读教材P61P63，完成下列问题1分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法2分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图336表示为：图3363综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，即可证明结论成立判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)分析法就是从结论推向已知()(2)分析法的推理过程要比综合法优越()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明()【解析】(1)错误分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程(2)错误分析法和综合法各有优缺点(3)正确一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型应用分析法证明不等式已知ab0，求证：.【精彩点拨】本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件【自主解答】要证，只需证b0，同时除以，得1，同时开方，得1，只需证2，即证，即证bb0，原不等式成立，即0，求证：a2.【证明】要证a2，只需证2a，即证22，即a24 4a22 4，只需证2 .只需证42，即a22.上述不等式显然成立，故原不等式成立用分析法证明其他问题(2016合肥高二检测)求证：以过抛物线y22px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x相切【精彩点拨】【自主解答】如图所示，过点A，B分别作AA，BB垂直准线于点A，B，取AB的中点M，作MM垂直准线于点M.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM|AB|.由抛物线的定义有|AA|AF|，|BB|BF|，所以|AB|AA|BB|，因此只需证|MM|(|AA|BB|)根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y22px焦点的弦为直径的圆必与直线x相切1分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法2分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等再练一题2已知1，求证：cos sin 3(cos sin )【证明】要证cos sin 3(cos sin )，只需证3，只需证3，只需证1tan 3(1tan )，只需证tan .1，1tan 2tan ，即2tan 1.tan 显然成立，结论得证探究共研型综合法与分析法的综合应用探究1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”探究2综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1). 【导学号：67720019】【精彩点拨】可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来【自主解答】由已知条件得消去x，y得2a，且a0，b0，c0.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1，因，只需证a1，即证2abc.由于2a，故只需证bc，只需证b3c3(bc)(b2c2bc)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20.因为上式显然成立，所以(a1)2(b1)(c1)综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证再练一题3已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：.【证明】要证，即证3，即证1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证c2a2acb2.A，B，C成等差数列，2BAC，又ABC180，B60.c2a2b22accos B，c2a2b2ac，c2a2acb2，成立构建体系1要证明2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法B分析法C比较法D归纳法【解析】由分析法和综合法定义可知选B.【答案】B2已知a0，b0，且ab2，则()AaBabCa2b22Da2b23【解析】ab22，ab1.a2b242ab，a2b22.【答案】C3.0Bab0且abCab0且abDab(ba)0【解析】()3()3ab33abab2a2bab(ba)0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_【解析】因为abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.当且仅当abc时等号成立【答案】95已知a，b，cR且不全相等，求证：a2b2c2abbcca.【证明】法一：(分析法)要证a2b2c2abbcca，只需证2(a2b2c2)2(abbcca)，只需证(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，因为a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因为a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20成立所以原不等式a2b2c2abbcca成立法二：(综合法)因为a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因为a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20，所以(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0，所以2(a2b2c2)2(abbcca)，所以a2b2c2abbcca.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若a，bR，则成立的一个充分不必要条件是()Aab0BbaCab0Dab(ab)0【解析】由ab0a3b3，但不能推出ab0，ab成立的一个充分不必要条件【答案】C2求证：1.证明：要证1，只需证1，即证7251121，即证，3511，原不等式成立以上证明应用了()A分析法B综合法C分析法与综合法配合使用D间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】A3(2016汕头高二检测)要证a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0【解析】要证a2b21a2b20，只要证明(a21)b2(1a2)0，只要证明(a21)(1b2)0，即证(a21)(b21)0.【答案】D4在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()Aa2b2c2Da2b2c2【解析】由余弦定理得cos A0，b2c2a20，即b2c2bc，且abc0，求证：0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0【解析】由题意知ab2ac3a2b2a(ab)3a2b2a2ab3a2b2ab0a2aba2b20a(ab)(ab)(ab)0a(ab)c(ab)0(ab)(ac)0，故选C.【答案】C二、填空题6(2016烟台高二检测)设A，B(a0，b0)，则A，B的大小关系为_【解析】AB0，AB.【答案】AB7(2016西安高二检测)如果ab，则实数a，b应满足的条件是_【解析】要使ab成立，只需(a)2(b)2，只需a3b30，即a，b应满足ab0.【答案】ab08如图337，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足_时，BDA1C.(写出一个条件即可)图337【解析】要证BDA1C，只需证BD平面AA1C.因为AA1BD，只要再添加条件ACBD，即可证明BD平面AA1C，从而有BDA1C.【答案】ACBD(或底面为菱形)三、解答题9设a，b0，且ab，求证：a3b3a2bab2.【证明】法一：分析法要证a3b3a2bab2成立，只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，又因ab0，只需证a2abb2ab成立，只需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立，由此命题得证法二：综合法abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.注意到a，b0，ab0，由上式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)，a3b3a2bab2.10(2016深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2b2c24S.【证明】要证a2b2c24S，只要证a2b2(a2b22abcos C)2absin C，即证a2b22absin(C30)，因为2absin(C30)2ab，只需证a2b22ab，显然上式成立，所以a2b2c24S.能力提升1已知a，b，c，d为正实数，且，则()A.B.C.D以上均可能【解析】先取特殊值检验，可取a1，b3，c1，d2，则，满足.B，C不正确要证，a，b，c，d为正实数，只需证a(bd)b(ac)，即证adbc.只需证，而成立，.同理可证(a0，b0)C.2【解析】对于A，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2c2abbcca；对于B，()2ab2，()2ab，；对于C，要证(a3)成立，只需证明，两边平方得2a322a32，即，两边平方得a23aa23a2，即02.因为02显然成立，所以原不等式成立；对于D，()2(2)2124244(3)0，1成立的正整数p的最大值是_【解析】由21，得21，即p(21)2，所以p12442，由于1244212.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】124(2016唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1，求证：logx logx logx logxalogxblogxc.【证明】要证明logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)，而已知0xabc.a，b，c是不全相等的正数，0，0，0，abc，即abc成立，logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立