高中数学 第三章 导数及其应用 学业分层测评17 函数的极值与导数 新人教A版选修1-1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 学业分层测评17 函数的极值与导数 新人教A版选修1-1 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1函数yx33x29x(2x2)的极值情况是()A极大值为5，极小值为27B极大值为5，极小值为11C极大值为5，无极小值D极小值为27，无极大值【解析】y3x26x93(x1)(x3)，令y0，得x1或x3.当2x1时，y0；当1x2时，y0.所以当x1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值【答案】C2已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3)B(3，)C(2，)D(，3)【解析】因为函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，所以有f(2)0，而f(x)6x22ax36，代入得a15.现令f(x)0，解得x3或x2，所以函数的一个递增区间是(3，)【答案】B3设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点【解析】f(x)xex，f(x)exxexex(1x)当f(x)0时，即ex(1x)0，即x1，x1时，函数f(x)为增函数同理可求，x1时，函数f(x)为减函数x1时，函数f(x)取得极小值【答案】D4(2016邢台期末)函数f(x)ax3ax2x3有极值的充要条件是()Aa1或a0Ba1C0a1Da1或a0【解析】f(x)有极值的充要条件是f(x)ax22ax10有两个不相等的实根，即4a24a0，解得a0或a1.故选D.【答案】D5已知aR，且函数yexax(xR)有大于零的极值点，则()Aa1Ca【解析】因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.【答案】A二、填空题6(2016临沂高二检测)若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_【解析】y3x212x3x(x4)由y0，得x0或4.且x(，0)(4，)时，y0.x4时函数取到极大值故6496m13，解得m19.【答案】197函数f(x)aln xbx23x的极值点为x11，x22，则a_，b_. 【导学号：26160089】【解析】f(x)2bx3，函数的极值点为x11，x22，x11，x22是方程f(x)0的两根，也即2bx23xa0的两根由根与系数的关系知解得【答案】28已知函数f(x)ax3bx2c，其导数f(x)的图象如图337所示，则函数的极小值是_图337【解析】由图象可知，当x0时，f(x)0，当0x0，故x0时，函数f(x)取到极小值f(0)c.【答案】c三、解答题9设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR，求f(x)的单调区间与极值【解】由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)所以f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)10.函数f(x)x3ax2bxc的图象如图338所示，且与y0在原点相切，若函数的极小值为4，求a，b，c的值图338【解】函数的图象经过(0,0)点，c0.又图象与x轴相切于(0,0)点，且f(x)3x22axb.f(0)0，即03022a0b，得b0.f(x)x3ax2.令f(x)x3ax20，得x0或xa，由图象知a0.令f(x)3x22axx(3x2a)0，当0xa时，f(x)a时，f(x)0.当xa时，函数有极小值4.即3a24，解得a3.a3，b0，c0.能力提升1设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点【解析】不妨取函数为f(x)x33x，则f(x)3(x1)(x1)，易判断x01为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A；因为f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知x01为f(x)的极大值点，故排除B；又f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知x01为f(x)的极大值点，故排除C；f(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得x0应为函数f(x)的极小值点故D正确【答案】D2如图339所示是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则xx等于()图339A. B.C. D.【解析】函数f(x)x3bx2cxd的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d0，bc10,4b2c80，则b3，c2，f(x)3x22bxc3x26x2，且x1，x2是函数f(x)x3bx2cxd的两个极值点，即x1，x2是方程3x26x20的实根，xx(x1x2)22x1x24.【答案】C3已知函数f(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则极大值与极小值之差为_. 【导学号：26160090】【解析】f(x)3x26ax3b，f(x)3x26x，令3x26x0，得x0或x2，f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.【答案】44若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围【解】f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0或4k0(如图所示)，即k4或k4.k的取值范围是(，4)(4，)