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第2课时组合的应用1能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题(重点)2能解决有限制条件的组合问题(难点)基础初探教材整理组合的实际应用阅读教材P15P16，完成下列问题1组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关2应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算(4)结论：根据计算结果写出方案个数1把三张游园票分给10个人中的3人，分法有_【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C120(种)【答案】1202甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有_种【解析】甲选修2门，有C6(种)不同方案乙选修3门，有C4(种)不同选修方案丙选修3门，有C4(种)不同选修方案由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有64496(种)【答案】96质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题【自主解答】(1)从中任取5人是组合问题，共有C792种不同的选法(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法共有CC378种不同的选法解答简单的组合问题的思考方法1弄清要做的这件事是什么事2选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题3结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果再练一题1现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C种方法，即CC21(种)有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼使用两个计数原理解决【自主解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有C561(种)不同的取法有561种(2)从34名可选学生中选取3名，有C种或者CCC5 984种不同的取法有5 984种(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC2 100种不同的取法有2 100种(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式NCCC2 1004552 555种不同的取法有2 555种(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有NCC6 5454556 090种不同的取法有6 090种常见的限制条件及解题方法1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解再练一题2“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川512”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90(种)抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185(种)抽调方法法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185(种)抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115(种)抽调方法探究共研型组合在几何中的应用探究1已知平面，在内有4个点，在内有6个点过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？【提示】所作出的平面有三类：内1点，内2点确定的平面，有CC个；内2点，内1点确定的平面，有CC个；，本身所作的平面最多有CCCC298个探究2上述问题中，以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？【提示】所作的三棱锥有三类：内1点，内3点确定的三棱锥，有CC个；内2点，内2点确定的三棱锥，有CC个；内3点，内1点确定的三棱锥，有CC个最多可作出的三棱锥有CCCCCC194个探究3上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？【提示】等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积相等，且平面，体积不相同的三棱锥最多有CCCC114个在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？【精彩点拨】解答本题可用间接法求解，28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决【自主解答】法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共28条底面、侧面和对角面共12个面，每一个面中，任两条直线都不构成异面直线，8个顶点中过每个顶点的3条面对角线不能构成异面直线，故共有C12C8C174对异面直线法二：因为一个三棱锥的6条棱中有且仅有3对异面直线，而一个正方体的8个顶点中取4个点的取法有C种，上述12个底面、侧面和对角面每个面的4个顶点不能构成三棱锥，故一个正方体的8个顶点可构成C1258个三棱锥，所以一个正方体中符合题设要求的异面直线共有3(C12)358174对几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等.解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算.再练一题3四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，不同的取法有3C333种构建体系1楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有()A72种 B84种 C120种 D168种【解析】需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C120(种)故选C.【答案】C2若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种B63种 C65种D66种【解析】均为奇数时，有C5种；均为偶数时，有C1种；两奇两偶时，有CC60种，共有66种【答案】D3由三个3和四个4可以组成_个不同的七位数【解析】在七个位置上选出3个位置放入3，其余放入4，所以有CC35个不同的数【答案】354在直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线yn(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有_个. 【导学号：62690015】【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为CC1515225个【答案】2255在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？【解】(1)有C220种抽法(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，所以共有CC90种抽法(3)法一：分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有CCCC100种抽法法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种不合要求，所以共有CC100种抽法我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016南宁高二检测)圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为()A720B360C240D120【解析】确定三角形的个数为C120.【答案】D2某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A120种B48种 C36种D18种【解析】最后必须播放奥运广告有C种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种，故共有CCA36种不同的播放方式【答案】C3以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A70个B64个 C58个D52个【解析】四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，共有四面体C1258个故选C.【答案】C4(2016柳州高二检测)将标号为1,2，10的10个球放入标号为1,2，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为()A120B240 C360D720【解析】先选出3个球有C120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有1202240种方法【答案】B5(2016桂林高二检测)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A28B49C56D85【解析】依题意，满足条件的不同选法的种数为CCCC49种【答案】B二、填空题6某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是_. 【导学号：62690016】【解析】按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC2 100种抽法【答案】2 1007有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法_种【解析】CCCCC15种【答案】158某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有_种不同的选法【解析】若只有1名队长入选，则选法种数为CC；若两名队长均入选，则选法种数为C，故不同选法有CCC714(种)【答案】714三、解答题9空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？【解】不考虑任何限制，10个点可得C个四面体由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有C种情形所以构成四面体的个数为CC2105205.10假设在10件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有两件是次品【解】(1)没有次品的抽法就是从7件正品中抽取5件的抽法，共有C21(种)(2)恰有2件次品的抽法就是从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件的抽法，共有CC105(种)(3)至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有CC种；第二类，从7件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有CC种按分类加法计数原理，有CCCC126(种)能力提升1某单位拟安排6位员工在2017年劳动节3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天若6位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有() 【导学号：62690017】A30种B36种C42种D48种【解析】所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有CC2CCCC42(种)排法【答案】C2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232B252C472D484【解析】显然该问题是一个组合问题，什么条件也不考虑共有C种取法，同一种颜色共有4C种取法，两张红色卡片共有CC种取法，不同的取法有：C4CCC1672472.【答案】C3如图131，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有_种图131【解析】四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C416种不同的建桥方案【答案】164已知一组曲线yax3bx1，其中a为2,4,6,8中的任意一个，b为1,3,5,7中的任意一个现从这些曲线中任取两条求它们在x1处的切线相互平行的组数【解】yax2b，曲线在x1处切线的斜率kab.切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成第一类：ab5，则a2，b3；a4，b1.故可构成2条曲线，有C组第二类：ab7，则a2，b5；a4，b3；a6，b1.可构成三条曲线，有C组第三类：ab9，则a2，b7；a4，b5；a6，b3；a8，b1.可构成四条曲线，有C组第四类：ab11，则a4，b7；a6，b5；a8，b3.可构成三条曲线，有C组第五类：ab13，则a6，b7；a8，b5.可构成两条曲线，有C组故共有CCCCC14(组)
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