高中数学 第一章 空间几何体 第7课时 球的体积和表面积课时作业 新人教A版必修2

第7课时球的体积和表面积课时目标1.了解球的表面积及体积公式的推导方法2掌握球的表面积与体积公式的应用识记强化1半径为R的球的体积为R3.2半径为R的球的表面积为4R2.3若球的内接正方体的棱长为a，则球的半径为a，若球的外切正方体的棱长为a，则球的半径为a.课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的()A2倍B4倍C8倍 D16倍答案：C解析：设气球原来的半径为r，体积为V，则Vr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为(2r)38r38 V.2一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A8 B6C4 D答案：C解析：设正方体的棱长为a，则a38，即a2.故该正方体的内切球的半径r1，所以该正方体的内切球的表面积S4r24.3一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都同时等于某一个球的直径，则圆柱、圆锥和球的体积之比为()A4：1：2 B2：1：1C3：2：1 D3：1：2答案：D解析：球的直径为2R，V圆柱R22R2R3，V锥R22RR3，V球R3，故V圆柱：V圆锥：V球3：1：2.4一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A. B.C. D.答案：A解析：设正方体的边长为a，球的半径为r，6a24r2ar5一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面半径之比为()A. B.C. D.答案：C解析：设球半径为r，圆锥的高为h，则(3r)2hr3，hr，.6设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2C.a2 D5a2答案：B解析：由题意，知该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，点P为三棱柱上底面的中心，点O为三棱柱外接球的球心，易知APaa，OPa，所以球的半径R满足R222a2，故S球4R2a2，二、填空题(每个5分，共15分)7若一个球的体积为4，则它的表面积为_答案：12解析：设球的半径为R，则R34，R，球的表面积S4R24312.8已知一个球与高为2的圆柱的上、下底面及侧面都相切，那么球的表面积为_，体积为_答案：4，解析：由题意可知，球的直径为2R2，R1，故球的表面积S4R24，体积VR3.9已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6和8，则这两个截面间的距离为_答案：1或7解析：若两个平行截面在球心的同侧，则两个截面间的距离为1；若两个平行截面在球心的异侧，则两个截面间的距离为7.三、解答题10(12分)若正四面体(四个面都是正三角形的三棱锥)的棱长为6，求它的内切球的表面积解：内切球的球心是正四面体的中心，设球与侧面和底面的切点分别为E、F，过两切点以及球心O作截面如图，又切点为各面正三角形中心，则AB63 ，BFAB.由RtAOERtABF，得，即.AO3r，AF4r.又AF 2AB2BF 2，(4r)2(3 )2()2.r.S球4r26.11(13分)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的高与底面直径相等时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差解：由球的半径为R，可知球的表面积为4R2.设内接圆柱的底面半径为r，则高h2r，由图可知r22R2，即2r2R2，rR，从而hR，故圆柱的侧面积为2rh2RR2R2.所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是4R22R22R2.能力提升12(5分)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案：12解析：该几何体上部是半径为2的半球，下部为长方体，长方体的高为3，底面是边长为2的正方形，故V2322312.13(15分)如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积解：由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，S半球4228，S圆台侧(25)35，S圆台底5225.故所求几何体的表面积为8352568.又V圆台(2252)452，V半球23，所以所求几何体的体积为V圆台V半球52.