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相似三角形的判定及有关性质(45分钟60分)1.如图所示,在ABCD中,点E为CD上一点,DECE=23,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,求SDEFSEBFSABF.【解析】因为ABCD,所以EDFABF,所以=,所以=,又DEF,BEF分别以DF,BF为底时等高,所以=.故SDEFSEBFSABF=41025.2.(2016郑州模拟)如图正方形ABCD的边长为4,点E,F分别为DC,BC的中点.(1)求证:ADEABF.(2)求AEF的面积.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以AD=AB,D=B=90,DC=CB.因为点E,F为DC,BC的中点,所以DE=DC,BF=BC,所以DE=BF.因为在ADE和ABF中,所以ADEABF(SAS).(2)由题知ABF,ADE,CEF均为直角三角形,且AB=AD=4,DE=BF=4=2,CE=CF=4=2,所以SAEF=S正方形ABCD-SADE-SABF-SCEF=44-42-42-22=6.【加固训练】如图,在四边形ABCD中,点E是AB上一点,ECAD,DEBC,若SBEC=1,SADE=3,求SCDE的值.【解析】因为ECAD,所以SDCESADE=ECAD,因为DEBC,所以SBCESCDE=BCED,又因为ECB=DEC=ADE,BEC=EAD,所以BECEAD,所以ECAD=BCED.所以SDCESADE=SBCESCDE,于是SCDE=.3.(2016大同模拟)如图,在ABC中,ABAC,点D为BC的中点,DEBC交AC于点F,交BA的延长线于点E.求证:AD2=DEDF.【证明】因为ABAC,点D为BC的中点,所以AD=BC=DC,所以2=C.因为ABAC,DEBC,所以C+B=90,E+B=90.所以C=E,所以2=E.又因为1=1,所以DAEDFA.所以=,即AD2=DEDF.【加固训练】如图,在ABC中,ABAC,ADBC,E为AC的中点,ED延长线交AB延长线于点F.求证:ABAF=ACDF.【证明】因为ABAC,ADBC,所以ABDCAD,所以=,1=C.因为E是AC的中点,所以DE=AC=EC,所以C=2.因为2=3,所以1=3.又因为F=F,所以FBDFDA,所以=,所以=,即ABAF=ACDF.4.(2016唐山模拟)如图,在ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF.(1)求证:AF=CE.(2)若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论.【解析】(1)在ADF和CDE中,因为AFBE,所以FAD=ECD.又因为D是AC的中点,所以AD=CD.因为ADF=CDE,所以ADFCDE,所以AF=CE.(2)若AC=EF,则四边形AFCE是矩形.由(1)知AFCE,所以四边形AFCE是平行四边形.又因为AC=EF,所以四边形AFCE是矩形.【加固训练】如图,在ABC中,点D是AC的中点,点E是BC延长线上一点,过A作AHBE.连接ED并延长交AB于点F,交AH于点H.如果AB=4AF,EH=8,求DF的长.【解析】因为AHBE,所以=.因为AB=4AF,所以=.因为HE=8,所以HF=2.因为AHBE,所以=.因为D是AC的中点,所以=1.因为HE=HD+DE=8,所以HD=4,所以DF=HD-HF=4-2=2.5.已知,如图,在矩形ABCD中,点G为BC延长线上一点,连接DG,过点B作BHDG于点H,且GH=DH,点E,F分别在AB,BC上,且EFDG.(1)若AD=3,CG=2,求DG的长.(2)若GF=AD+BF,求证:EF=DG.【解析】(1)在BHG与DCG中,因为BGH=DGC,BHDG,DCBG,所以BHGDCG,所以=,因为AD=3,CG=2,所以BG=5,因为GH=DH,即=,所以DG=2,即DG的长为2.(2)因为GF=AD+BF,所以FC+GC=BF+FC+BF,即GC=2BF,因为EFDG,所以BFE=CGD,所以RtBEFRtCDG,所以EFDG=BFGC=12,所以EF=DG.【加固训练】如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,BFCE于点F,求SBFCS正方形ABCD的值.【解析】设正方形ABCD的边长为2a,因为E是AB的中点,所以BE=a,所以CE=a,因为BFCE,所以EBC=BFC=90,因为ECB=BCF,所以BCFECB.因为BCEC=2.所以SBFCSEBC=45.因为S正方形ABCD=4SEBC,所以SBFCS正方形ABCD=15.6.如图,点C,D在线段AB上,且PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,ACPPDB.(2)当PDBACP时,试求APB的度数.【解析】(1)当CD2=ACDB时,ACPPDB,因为PCD是等边三角形,所以PCD=PDC=60,所以ACP=PDB=120,若CD2=ACDB,由PC=PD=CD可得PCPD=ACDB,即=,则根据相似三角形的判定定理得ACPPDB.(2)当ACPPDB时,APC=PBD.因为PDB=120,所以DPB+DBP=60,所以APC+BPD=60,所以APB=CPD+APC+BPD=120,即APB的度数为120.【加固训练】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E是CD的延长线上一点,DE=CD,BE与AD交于点F.(1)求证:ABFCEB.(2)若DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BAF=BCD,因为ABCD,所以ABF=CEB,所以ABFCEB.(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以ADBC,ABCD,所以DEFCEB,DEFABF.所以=,=.又DE=CD=AB,所以CE=DE+CD=DE+2DE=3DE.所以=,=.因为SDEF=2,所以SCEB=18,SABF=8.所以平行四边形ABCD的面积S=SABF+SCEB-SDEF=8+18-2=24.2.如图,在梯形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,EFAD,假设EF做上下平行移动.(1)若=,求证:3EF=BC+2AD.(2)若=,试判断EF与BC,AD之间的关系,并说明理由.(3)请你探究一般结论,即若=,那么你可以得到什么结论?【解析】过点A作AHCD分别交EF,BC于点G,H.(1)因为=,所以=,又EGBH,所以=,即3EG=BH.又EG+GF=EG+AD=EF,从而EF=(BC-HC)+AD,所以EF=BC+AD,即3EF=BC+2AD.(2)EF与BC,AD的关系式为5EF=2BC+3AD,理由和(1)类似.(3)因为=,所以=.又EGBH,所以=,即EG=BH.所以EF=EG+GF=EG+AD=(BC-AD)+AD,所以EF=BC+AD,即(m+n)EF=mBC+nAD.- 8 -
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