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小专题(一)旋转变换的证明与计算,1.任意一个图形绕旋转中心旋转(0180),旋转后的图形与原图形的对应线段所在直线的夹角都为或180-.2.当条件比较分散时,可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形中,其中旋转的角度是构图的关键.通常把图形旋转到特定的位置或特殊的角度,当三角形绕某一顶点旋转90时,可出现等腰直角三角形,当三角形绕某一顶点旋转60时,可出现等边三角形.于是可把陌生问题转化为熟悉问题,把复杂问题转化为简单问题.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,利用旋转变换证明1.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.(1)在图1中E是OC上一点,F是OB上一点,且OE=OF,请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法,使OAF变换到OBE的位置?(2)如图2,若点E,F分别在OC,OB的延长线上,并且OE=OF,试写出线段AF与BE的数量关系,并说明理由.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,解:(1)旋转,以点O为旋转中心,逆时针旋转90度,可以使OAF变换到OBE的位置.(2)AF=BE.理由:四边形ABCD是正方形,ACBD,OA=OB,AOB=BOC=90,AOFBOE(SAS),AF=BE.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,利用旋转求线段长2.如图,在ABC中,AB=AC=2,BAC=45,AEF是由ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D.(1)求证:BE=CF;(2)当四边形ABDF为菱形时,求CD的长.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,解:(1)AEF是由ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,AE=AF=AB=AC=2,EAF=BAC=45,BAC+CAE=EAF+CAE,即BAE=CAF,ABEACF,BE=CF.(2)四边形ABDF为菱形,DF=AF=2,DFAB,ACF=BAC=45.AC=AF,ACF=AFC=45,ACF为等腰直角三角形,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,利用旋转求角的度数3.如图,菱形ABCD是由两个正三角形拼成的,P是ABD内任意一点,现把BPD绕点B旋转到BQC的位置.(1)当四边形BPDQ是平行四边形时,求BPD;(2)当PQD是等腰直角三角形时,求BPD;(3)若APB=100,且PQD是等腰三角形时,求BPD.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,解:(1)连接DQ.当四边形BPDQ是平行四边形时,BQ=PD,由已知,得BQ=BP,BP=PD,BQC由BPD旋转所得,BDP,BCQ为等腰三角形,PDBQ,BDP=DBQ,BDP=DBP=CBQ,DBQ=CBQ,DBC=60=DBQ+CBQ,BDP=DBP=CBQ=30,DPB=180-(BDP+DBP)=120.(2)连接PQ.当DP=DQ,PDQ=90时,由旋转的性质可得BP=BQ,DBQ+CBQ=DBC=60,DBP=CBQ,DBP+DBQ=CBQ+DBQ=60,BPQ为等边三角形,BPQ=60,BPD=BPQ+DPQ=60+45=105,当DQ=PQ,PQD=90时,同理得BPQ为等边三角形,BPQ=60,BPD=BPQ+DPQ=60+45=105,当DP=PQ,DPQ=90时,同理得BPQ为等边三角形,BPQ=60,BPD=BPQ+DPQ=60+90=150.综上,BPD的度数为105或150.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,(3)连接AP.由旋转的性质可得BP=BQ,同理得BPQ为等边三角形,则PQB=PBQ=BPQ=60,BD=AB,BQ=BP,PBQ=ABD=60,BQDBPA,则BQD=BPA=100,PQD=BQD-PQB=40.当PQ=PD时,DPQ=180-2PQD=100,BPD=BPQ+DPQ=60+100=160;当PQ=DQ时,DPQ=(180-40)=70,BPD=BPQ+DPQ=60+70=130;当PD=DQ时,DPQ=PQD=40,由BPD=BPQ+DPQ=60+40=100.综上,BPD的度数为100或130或160.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,利用旋转求面积4.(德阳中考)如图,将ABC沿BC翻折得到DBC,再将DBC绕点C逆时针旋转60得到FEC,延长BD交EF于点H,已知ABC=30,BAC=90,AC=1,则四边形CDHF的面积为.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,5.(青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:(1)探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD,连接CD.求证:BCD的面积为a2.(2)探究2:如图2,在一般的RtABC中,ACB=90,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD,连接CD.请用含a的式子表示BCD的面积,并说明理由.(3)探究3:如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD,连接CD.试探究用含a的式子表示BCD的面积,要有探究过程.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,解:(1)如题图1,过点D作DECB交CB的延长线于点E,BED=ACB=90,由旋转知AB=BD,ABD=90,ABC+DBE=90,A+ABC=90,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,理由:如题图2,过点D作BC的垂线,与CB的延长线交于点E.BED=ACB=90,由旋转知AB=BD,ABD=90,ABC+DBE=90.A+ABC=90,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,利用旋转求点的坐标6.(牡丹江中考)如图,矩形ABCD的边BC在x轴上,点A在第二象限,点D在第一象限,AB=2,OD=4,将矩形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则点C的对应点的坐标是(C),类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,与旋转有关的探究题7.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0a360),得到矩形AEFG.(1)如图,当点E在BD上时,求证:FD=CD.(2)当a为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,解:(1)连接AF.矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得,BD=AF,EAF=ABD,AB=AE,ABD=AEB,EAF=AEB,BDAF,四边形BDFA是平行四边形,FD=AB,AB=CD,FD=CD.(2)如答图1,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时,GC=GB.易知点G是AD的垂直平分线上的点,DG=AG,又AG=AD,ADG是等边三角形,DAG=60,a=60.如答图2,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的左边时,GC=GB.同理,ADG是等边三角形,DAG=60,此时a=300.综上所述,当a为60或300时,GC=GB.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,8.如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,).(1)求BAO的度数.(2)如图1,将AOB绕点O顺时针旋转得AOB,当点A恰好落在AB边上时,设ABO的面积为S1,BAO的面积为S2,S1与S2有何关系?为什么?(3)若将AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置,S1与S2的关系发生变化了吗?请说明理由.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,9.如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,F=30.(1)求证:BE=CE;(2)将EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).求证:BEMCEN;若AB=2,求BMN面积的最大值;当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sinEBG的值.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,解:(1)四边形ABCD为矩形,A=D=90,AB=DC.E为AD中点,AE=DE,ABEDCE,BE=CE.(2)ABEDCE,AEB=DEC.FEG=90,BEC=90,AEB=DEC=45,ABE=ECB=45.BEM+BEN=CEN+BEN=90,BEM=CEN.BE=CE,BEMCEN.由可知ABE和DEC都是等腰直角三角形,E为AD中点,BC=AD=2AB=4.设BM=CN=x,则BN=4-x,2x4.,当x=2时,BMN的面积最大,最大面积为2.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,BCAD,FEG=90,BNG=FEG=90.F=30,NBG=F=30.由可知EBN=45.,
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