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2.3 垂径定理1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算.自学指导 阅读课本P5859，完成下列问题.知识探究1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心.2.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：AB经过圆心O且与圆交于A、B两点；ABCD交CD于E；那么可以推出：CE=DE；=；=.自学反馈1.已知：O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则AB的长为（D ） A B4cm C D8cm2.如图，O的半径为4，弦ABOC于C，且OC=3，则AB的长等于 活动1 小组讨论例1 如图，弦AB=8cm,CD是O的直径，CDAB，垂足为E，DE=2cm,求O的直径CD的长.解：连接OA.设OA=rcm,则OE=r-2(cm).CDAB，由垂径定理得AE=4(cm).在RtAEO中，由勾股定理得OA2=OE2+AE2.即r2=(r-2)2+42.解得r=5.CD=2r=10(cm).例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等已知：如图，在O中，弦AB与弦CD平行.求证：弧AC=弧BD.证明：作直径EFAB，弧AE=弧BE.又ABCD，EFAB，EFCD.弧CE=弧DE.因此弧AE-弧CE=弧BE-弧DE，即弧AC=弧BD.活动2 跟踪训练2.如图，O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（C） A2 B3 C4 D5 3.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（B） A5米B8米 C7米D5米 5.如图，O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=6 cm6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB=120m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD=20m，则这段弯路的半径为100 m7.如图是某公园新建的圆形人工湖为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离与B、C之间的距离相等，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径解：设点O为圆心，连接半径OA、OB，设OB交AC于点D则OBAC，AD=CD=30米设OA=x米，则有x2(x3)2=302，解得x=1515(米)故人工湖的半径为1515米8.如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AB=10，COD=60，求：（1）弦CD的长；（2）COE的度数；（3）线段BE的长（结果用根号表示）解：（1）半径OC=OD，即OCD为等腰三角形.又COD=60，OCD为等边三角形.CD=OC=AB=5.（2）直径AB垂直于弦CD于E，CE=ED。又OC=OD，即OE为等腰OCD的底边CD上的高，OE平分COD.COD=60，COE=30.（3）在RtOCE中，cosCOE =，OE=OCcosCOE=5cos30=5=.BE=OBOE=5活动3 课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.教师强调:圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；注意计算中的两种情况.3
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