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第5节古典概型与几何概型【选题明细表】知识点、方法题号古典概型1,2,3,7,8,9,10,12,13,15,16几何概型4,5,6,11,14,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015石家庄高三下学期二模)投掷两枚骰子,则点数之和是8的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:基本事件的总数为36,点数之和为8的有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5种情况,故其概率为.2.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形三边边长的概率是(A)(A)(B)(C)(D)解析:基本事件的总数为=10,其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故其概率为.3.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=16 内的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:基本事件的总数是36,点P落在圆内的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个,故所求的概率是=.4.如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外矩形内的黄豆为96颗,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为(C)(A)7.68(B)8.68(C)16.32(D)17.32解析:由随机模拟的思想方法,可得黄豆落在椭圆内的概率为=0.68.由几何概型的概率计算公式,可得=0.68,而S矩形=64=24,则S椭圆=0.6824=16.32.5.(2015山西省康杰中学等四校第三次联考)在面积为S的ABC内部任取一点P,则PBC的面积大于的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:记事件A=(PBC的面积超过),基本事件是三角形ABC的面积,如图,事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DEBC并且ADAB=34),因为阴影部分的面积是整个三角形面积的()2=,所以P(A)=.故选D.6.(2015湖北七市3月联考)甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面,并约定谁先到后必须等10分钟,若等待10分钟后另一人还没有来就离开.如果甲是8:30分到达的,假设乙在8点到9点内到达,且乙在8点到9点之间何时到达是等可能的,则他们见面的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:只要乙在8:208:40内到达即可,由于乙在8:009:00到达是等可能的,故他们能够见面的概率是=.7.一个骰子连续投2次,点数和为i(i=2,3,12)的概率记作Pi,则Pi的最大值是(B)(A)(B)(C) (D)解析:基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6);(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6);(4,1),(4,2),(4,3),( 4,4),(4,5),(4,6);(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6);(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共有36个.其中两数之和等于7的有6个,两数之和等于其余数字的都少于6个,故P7=最大.8.(2016兰州高三模拟)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.解析: 基本事件甲取红、白、蓝,乙取红、白、蓝,对应组合共9个基本事件,颜色相同的共3个基本事件,故所求的概率为=.答案:9.(2015高考天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.用所给编号列出所有可能的结果;设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15种.编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1,A5,A1,A6,A2,A5,A2,A6,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共9种.因此,事件A发生的概率P(A)=.10.现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品.(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率.(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以基本事件总数为101010=103(种);设事件A为“连续3次都取出正品”,则包含的基本事件共有888=83种,因此P(A)=0.512.(2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以基本事件总数为1098.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为876,所以P(B)=.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016湖北省高三检测)如图,大正方形的面积是34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为大正方形的面积是34,所以大正方形的边长是,由直角三角形的较短边长为3,得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3,则小正方形边长为2,面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为P=.12.考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于(A)(A)1(B)(C)(D)0解析:如图所示,正方体6个面的中心构成一个八面体,如果选取的是表面上的一个面上的三个点,则剩余的是另一个侧面上的三个点,这两个三角形都是边长相等的正三角形,两三角形全等;如果选取的是图中正方形中四个点中的三个,这个三角形是等腰直角三角形,此时剩下的三个点是与上面正方形全等的正方形中四个点的三个,这三个点构成一个和上面三角形全等的等腰直角三角形.综上可知,这是一个必然事件,其概率值为1.13.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为.解析:基本事件的总数就是从15个元素中任取4个元素的组合数,随机事件“每种汤圆都至少取到1个”可以分为三类: “芝麻馅汤圆1个,花生馅汤圆1个,豆沙馅汤圆2个”,“芝麻馅汤圆1个,花生馅汤圆2个,豆沙馅汤圆1个”,“芝麻馅汤圆2个,花生馅汤圆1个,豆沙馅汤圆1个”,分别计算其包含的基本事件的个数即可.因为总的舀法,根据分析随机事件“每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件的个数是+,故所求概率为=.答案:14.(2016山西大学附中高三上模块诊断)向曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的区域内任投一点,这点正好落在y=1-x2与x轴所围成区域内的概率为.解析:x2+y2=|x|+|y|所围成的区域是如图所示的四个圆弧围成的图形,其面积S=+2()2=2+,y=1-x2与x轴所围成的区域的面积.S1=(1-x2)dx=(x-x3) |=,所以概率P=.答案:15.(2014高考重庆卷)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:(1)求频率分布直方图中a的值;(2)分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数;(3)从成绩在50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在60,70)中的概率.解:(1)据频率分布直方图知组距为10.由(2a+3a+6a+7a+2a)10=1,解得a=0.005.(2)成绩落在50,60)中的学生人数为20.0051020=2.成绩落在60,70)中的学生人数为3 0.0051020=3.(3)记成绩落在50,60)中的2人为A1,A2,成绩落在60,70)中的3人为B1,B2,B3,则从成绩在50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:(A1, A2),(A1,B1),(A1, B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中2人的成绩都在60,70)中的基本事件有3个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率为P=.16.设O为坐标原点,点P的坐标(x-2,x-y).(1)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求事件“|OP|取到最大值”的概率;(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率.解:(1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表:(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x-2,x-y)(-1,0)(-1,-1)(-1,-2)(0,1)(0,0)(0,-1)(1,2)(1,1)(1,0)|OP|11011其中基本事件总数为9,随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件,故所求的概率为P (A)=.(2)设事件B为“P点在第一象限”.若则其所表示的区域面积为33=9.由题意可得事件B满足即如图所示的阴影部分,其区域面积为13-11=.所以P(B)=.精彩5分钟1.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数能被3整除的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解题关键:按“含0”与“不含0”分类,并且分类做到不重不漏.解析:因为从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数有-=648个;其中,能被3整除的,可以分为“含0”与“不含0”两类;“含0”:由这样的数字构成:0,1,2;0,1,5;0,1,8;0,2,4;0,2,70,4,5;0,4,8;0,5,7;0,7,8,它们组成的无重复数字的三位数有9个;或由0,3,6;0,3,9;0,6,9构成,它们组成的无重复数字的三位数有3个,共有12个.“不含0”:由这样的数字构成:(1)含3,6, 9中的一个,另外两个数字分别为1,2;1,5;1,8;2,4;2,7;4,5;4,8;5,7;7,8,它们组成的无重复数字的三位数有39=27个;(2)由3,6,9三个数字构成无重复数字的三位数有个;(3)无3,6,9,由1,4,7;2,5,8组成无重复数字的三位数有2个,故从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被3整除的共有12+30=228个,所以能被3整除的概率为P=.2.已知=(x,y),直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点,它们围成的平面区域为M,向区域上随机投一点A,点A落在区域M内的概率为P(M),若P(M) ,1,则实数m的取值范围为(D)(A),1(B)0,(C),1(D)0,1解题关键:直线y=mx+2m过定点(-2,0),当P(M)=时计算出m再结合图形求解.解析:如图,根据题意m0,根据几何概型的意义,弓形的面积为-2,此时只要m=1即可.故0m1.7
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