资源描述
第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法3,5,8,12分析法7,10,11反证法1,2,4,9数学归纳法6,13基础对点练(时间:30分钟)1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(B)(A)自然数a,b,c中至少有两个偶数(B)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)自然数a,b,c都是奇数(D)自然数a,b,c都是偶数解析: “恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选B.2.设x,y,z0,则三个数+,+,+(C)(A)都大于2 (B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2(D)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,则+bc(B)bca(C)cab(D)acb解析:因为a=-=,b=-=,c=-=,又因为+0,所以abc.4. (2014高考山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(A)(A)方程x3+ax+b=0没有实根(B)方程x3+ax+b=0至多有一个实根(C)方程x3+ax+b=0至多有两个实根(D)方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.故选A.5.(2016成都模拟)已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)ABC(B)ACB(C)BCA(D)CBA解析:因为,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()f()f(),即ABC.故选A.6.用数学归纳法证明+时,由k到k+1,不等式左边的变化是(C)(A)增加项(B)增加和两项(C)增加和两项同时减少项(D)以上结论都不对解析:n=k时,左边=+n=k+1时,左边=+,由“n=k”变成“n=k+1”时,不等式左边的变化是+-.7.设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是.解析:法一取a=2,b=1,得mn.法二-a0,显然成立,故mn.答案:mn8.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.解析:由条件得cn=an-bn=-n=,所以cn随n的增大而减小.所以cn+1cn.答案:cn+10,用分析法证明-a+-2.证明:要证-a+-2,只需证(a+)-(2-).因为a0,所以(a+)-(2-)0,所以只需证()2(a+)-(2-)2,即2(2-)(a+)8-4,只需证a+2.因为a0,a+2显然成立(a=1时等号成立),所以要证的不等式成立.能力提升练(时间:15分钟)11.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求证0 (B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0(D)(a-b)(a-c)bc,且a+b+c=0可得b=-a-c,a0,c0.要证a,只要证(-a-c)2-ac0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)0,即证a(a-c)-b(a-c)0,即证(a-c)(a-b)0.故求证“0.12.对于函数f(x),若a,b,cR,f(a),f(b),f (c)都是某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是(D)(A)f(x)=1(xR)不是“可构造三角形函数”(B)“可构造三角形函数”一定是单调函数(C)f(x)=(xR)是“可构造三角形函数”(D)若定义在R上的函数f(x)的值域是,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析:对于A选项,由题设所给的定义知,a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故A选项错误;对于B选项,由A选项判断过程知,B选项错误;对于C选项,当a=0,b=3,c=3时,f(a)=1f(b)+f(c)=,不构成三角形,故C错误;对于D选项,由于+e,可知,定义在R上的函数f(x)的值域是,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”.13.设a0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解:因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想an=(nN*).(2)证明:易知,n=1时,猜想正确.假设n=k时猜想正确,即ak=,则ak+1=f(ak)=.这说明,n=k+1时猜想正确.由知,对于任何nN*,都有an=.精彩5分钟1.已知三个不等式ab0;bcad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成个正确命题.解题关键:-=.解析:此题共可组成三个命题即;.若ab0,则-=0,得bc-ad0,即可得命题正确;若ab0,bcad,则=-0,得,即命题正确;若bcad,则-=0,得ab0,即命题正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三2.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,xn,有f(),已知函数y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为.解题关键:利用所给凸函数的性质求解.解析:因为f(x)=sin x在区间(0,)上是凸函数,且A,B,C(0,),所以f()=f(),即sin A+sin B+sin C3sin =,所以sin A+sin B+sin C的最大值为.答案:3.(2016洛阳模拟)下面有4个命题:当x0时,2x+的最小值为2;若双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则双曲线的离心率为2;将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,可以得到函数y=sin(2x-)的图象;在RtABC中,ACBC,AC=a,BC=b,则ABC的外接圆半径r=;类比到空间,若三棱锥SABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直,且长度分别为a,b,c,则三棱锥SABC的外接球的半径R=.其中错误命题的序号为.解题关键:对四个命题的真假性逐一作出判断.解析:对于,2x+取得最小值为2的条件是x=0,这与x0相矛盾;对于,将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,可以得到函数y=sin2(x-)=sin(2x-)的图象;易证成立;对于,可将该三棱锥补成长方体,其外接球的直径恰好是长方体的体对角线.答案:6
展开阅读全文