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第二章空间向量与立体几何(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1空间四个点O、A、B、C，为空间的一个基底，则下列说法不正确的是()AO、A、B、C四点不共线BO、A、B、C四点共面，但不共线CO、A、B、C四点中任意三点不共线DO、A、B、C四点不共面2已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为()A30 B45 C60 D903已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若xy，则x，y的值分别为()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y4设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是()A0 B2 C4 D65已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的个数是()A1 B2 C3 D46已知a(3,2,5)，b(1，x，1)且ab2，则x的值是()A3 B4 C5 D67设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定8正三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D909已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为()A. B.C. D.题号12345678910答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.12若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_.13平面的法向量为m(1,0，1)，平面的法向量为n(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为_14若向量a(2,3，)，b的夹角为60，则_.15在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCAA12，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为_三、解答题(本大题共6小题，共75分)16(12分)如图，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设，试求、的值17.(12分)如图，四棱锥SABCD的底面是边长为2a的菱形，且SASC2a，SBSDa，点E是SC上的点，且SEa (00.B为锐角，同理，C，D均为锐角，BCD为锐角三角形8C建系如图，设AB1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)(1,0,1)，(0,1,1)cos，.，60，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60.9CQ在OP上，可设Q(x，x,2x)，则(1x，2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x时，最小，这时Q.10C以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,1，1)，(1,1,1)可以证明A1C平面BC1D，AC1平面A1BD.又cos，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.112解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)(2b)2(1x)2，x2.1223(4)解析，由a0，a0，得，xyzyy23(4)1360或120解析cosm，n，m，n120，即平面与所成二面角的大小为60或120.14.解析a(2,3，)，b，ab1，|a|，|b|，cosa，b.15.解析建立如图所示坐标系，则(1,1，2)，(0,2，2)，cos，.即异面直线AD和BC1所成角的大小为.16解()()()()，.17(1)证明连结BD，AC，设BD与AC交于O.由底面是菱形，得BDAC.SBSD，O为BD中点，BDSO.又ACSOO，BD面SAC.又AE面SAC，BDAE.(2)解由(1)知BDSO，同理可证ACSO，SO平面ABCD.取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系，设SOx，则OA，OB.OAOB，AB2a，(4a2x2)(2a2x2)4a2，解得xa.OAa，则A(a,0,0)，C(a,0,0)，S(0,0，a)SC平面EBD，是平面EBD的法向量(a,0，a)，(a,0，a)设SA与平面BED所成角为，则sin ，即SA与平面BED所成的角为.18解a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ，a与b的夹角的余弦值为.(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即2k2k100，k或k2.19解以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B(1,0,0)，则C(1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC的中点M.故，(1,0，1)，所以0，0.即MOSC，MASC.故，为二面角ASCB的平面角cos，.即二面角ASCB的余弦值为.20(1)证明如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)(4,0，2)，(0，2,0)，(0,0，2)设平面PDC的一个法向量为n(x，y,1)，则所以平面PCD的一个法向量为.PA平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD.平面PAD的法向量为(0,2,0)n0，n.平面PDC平面PAD.(2)解由(1)知平面PCD的一个单位法向量为.，点B到平面PCD的距离为.21(1)证明连结BD，设AC交BD于点O，由题意知SO平面ABCD，以O点为坐标原点，、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示设底面边长为a，则高SOa.于是S(0,0，a)，D，C，B，0.OCSD，即ACSD.(2)解由题意知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量，设所求二面角为，则cos ，故所求二面角PACD的大小为30.(3)解在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，且，设t，则t.由0，得t，即当SEEC21时，而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.- 11 -
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