2016-2017学年高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量基本定理学案北师大版必修4

3.2平面向量基本定理1了解平面向量基本定理及其意义(重点)2能应用平面向量基本定理解决一些实际问题(难点)基础初探教材整理平面向量基本定理阅读教材P85P86“例4”以上部分，完成下列问题如果e1，e2(如图237)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1，2，使a1e12e2(如图237)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底图237判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面向量的一组基底e1，e2中可以有一个向量为零向量()(2)任意两个向量都可以作为基底()(3)平面向量的基底不是唯一的()(4)零向量不可作为基底中的向量()【解析】(1)，因为零向量与任何向量均共线(2)，两不共线的向量才可作为平面的一组基底(3)(4)均正确【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由(1)若，满足e1e20，则0；(2)对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2成立的实数，有无数对；(3)线性组合e1e2可以表示平面内的所有向量；(4)当，取不同的值时，向量e1e2可能表示同一向量【精彩点拨】根据平面向量基本定理的内容来判断【自主解答】(1)正确若0，则e1e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明0.(2)不正确由平面向量基本定理可知，唯一确定(3)正确平面内的任一向量a可表示成e1e2的形式，反之也成立(4)不正确结合向量加法的平行四边形法则易知，当e1和e2确定后，其和向量e1e2便唯一确定1对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式2向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若e1，e2是基底，则必有e10，e20，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1e2与2(e1e2)等均不能构成基底再练一题1设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)【解析】中，设e1e2e1，则无解，e1e2与e1不共线，即e1与e1e2可作为一组基底；中，设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则无解，e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1可作为一组基底；中，e12e2(4e22e1)，e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不可作为一组基底；设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，无解e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2可作为一组基底【答案】运用基底表示向量如图238，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若a，b，试用a，b表示，.图238【精彩点拨】利用三角形法则或平行四边形法则，寻找所求向量与a，b的关系【自主解答】如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形则a；ba；ab.利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量共线定理及平面向量基本定理解决再练一题2如图239，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示和.图239【解】设a，b，则由M，N分别为DC，BC的中点可得：b，a，即bac.，即abd.由可得a(2dc)，b(2cd)，即(2dc)，(2cd)探究共研型平面向量基本定理应用探究1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？【提示】能依据是数乘向量和平行四边形法则探究2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？【提示】不一定当a与e1共线时可以表示，否则不能表示探究3基底给定时，向量分解形式唯一吗？【提示】向量分解形式唯一如图2310，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点图2310【精彩点拨】要证E为线段BD的三等分点，只需证BB，可设BB.选取，A作为基底，通过ABA，建立相应的方程组，并进行运算，求出即可【自主解答】设Aa，Ab，则BAAba，AADAAba.因为A，E，F与B，D，E分别共线，所以存在实数，R，使AA，BB.于是Aab，Bba.由ABA，得(1)abab.因为a，b不共线，由平面向量基本定理，得1，且.解得，BB，即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点1利用向量证明几何问题是其工具性的体现操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底2平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理；二是利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解再练一题3已知D，E，F分别是ABC的BC，CA，AB边上的中点试用向量法证明：AD，BE，CF交于一点【证明】如图，令a，b为基底，则ab，ab，ab，设AD与BE交于点G，且，则有ab，ab.又有a(1)b，解得.ab，aabab(ab)而(ab)，点GCF，AD，BE，CF交于一点构建体系1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是()ABCD【解析】根据基底的概念知两个向量必须不共线，结合图形知正确【答案】B2已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy等于()A3 B3 C0 D2【解析】因为(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，所以(3x4y6)e1(2x3y3)e20，所以由得xy30，即xy3.【答案】A3.在ABC中，若D，E，F依次是的四等分点，则以e1，e2为基底时，_. 【导学号：66470048】图2311【解析】e1e2，因为D，E，F依次是的四等分点，所以(e1e2)，所以e2(e1e2)e1e2.【答案】e1e24已知向量i，j不共线，实数，满足等式3i(10)j2i(47)j，则的值为_，的值为_【解析】由3i(10)j2i(47)j得i(35)j0，因为i，j不共线所以0,350，即.【答案】05设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来【解】如图，()ba.ab.()ab.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_9