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3.1.2复数的几何意义明目标、知重点1理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法1复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数与点、向量间的对应复数zabi(a，bR)一一,对应,复平面内的点Z(a，b)；复数zabi(a，bR)一一,平面向量(a，b)2复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|.情境导学我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？探究点一复数与复平面内的点思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数思考2判断下列命题的真假：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限答根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z00i0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以是真命题，是假命题；对于非纯虚数zabi，由于a0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b0时，z所对应的点在实轴上，故是假命题例1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的取值范围解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20.解得m2或m1.(2)由题意得，1m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以当m1或m时，复数z对应的点在直线xy40上探究点二复数与向量思考1复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系思考2怎样定义复数z的模？它有什么意义？答复数zabi(a，bR)的模就是向量(a，b)的模，记作|z|或|abi|.|z|abi|可以表示点Z(a，b)到原点的距离例2已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合由图可知：a，|z1|z2|.跟踪训练3设zC，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|2；(2)|z|3.解方法一(1)复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆(2)满足条件|z|3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部方法二设zxyi(x，yR)(1)|z|2，x2y24，点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆(2)|z|3，x2y29.点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部1在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限2当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m2，m1)由m0，m10.所以点Z位于第四象限故选D.3在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A2i B2iC12i D12i答案B解析A(1,2)关于直线yx的对称点B(2,1)，向量对应的复数为2i.4在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为_答案9解析z(m3)2i表示的点在直线yx上，m32，解之得m9.呈重点、现规律1复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑一、基础过关1复数zi3对应的点在复平面第几象限()A一 B二 C三 D四答案D解析由i21，zi，对应点坐标为(，1)2当0m1时，z(m1)(m1)i对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析0m0，1m10，故对应的点在第四象限内3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82i C24i D4i答案C解析A(6,5)，B(2,3)，C为AB的中点，C(2,4)，点C对应的复数为24i，故选C.4已知复数zabi(a、bR)，当a0时，复平面内的点z的轨迹是()A实轴 B虚轴C原点 D虚轴除去原点答案B解析a0时，zbi，复平面内的点z的轨迹是虚轴5已知复数zai在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于()A1i B1iC1i或1i D2i答案A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，由|z|2知，2，解得a1，故a1，所以z1i.6若复数(6k2)(k24)i(kR)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是_答案2k或k2解析z位于第三象限，2k或k2.7复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，求|z|.解复数za21(a1)i是纯虚数，解得a1，z2i.|z|2.二、能力提升8若(，)，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析(，)，cos sin 0.选B.9复数zicos ，0,2)的几何表示是()A虚轴B虚轴除去原点C线段PQ，点P，Q的坐标分别为(0,1)，(0，1)DC中线段PQ，但应除去原点答案C10设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z(cos Btan A)tan Bi对应的点位于复平面的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析因A、B为锐角三角形的两个内角，所以AB，即AB，sin Acos B.cos Btan Acos Bcos Bsin A0，所以点(cos Btan A，tan B)在第二象限，故选B.11若复数z11i，z235i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为_答案212复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则|z|_.答案2解析复数za21(a1)i是纯虚数，解得a1，z2i.|z|2.13当实数m为何值时，复数z(m28m15)(m23m28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)解(1)要使点位于第四象限，须，7m3.(2)要使点位于x轴负半轴上，须，m4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m23m280，解得m4或m7.14已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120且复数z的模为2，求复数z.解根据题意可画图形如图所示：设点Z的坐标为(a，b)，|z|2，xOZ120，a1，b，即点Z的坐标为(1，)，z1i.三、探究与拓展15(1)满足条件|zi|34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()A一条直线 B两条直线C圆 D椭圆答案C(2)已知复数(x2)yi(x，yR)的模为，则的最大值为_答案解析|x2yi|，(x2)2y23，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率如图，由平面几何知识，易知的最大值为.- 8 -
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