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专题4不等式选讲【三年高考】1. 【2016高考江苏】 设a0，|x1| ，|y2| ，求证：|2x+y4|a.【答案】详见解析【考点】含绝对值的不等式证明【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号成立的条件将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化与化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向2【2015江苏高考，21】解不等式【答案】【解析】【考点定位】含绝对值不等式的解法3【2014江苏，理21D】选修4-5：不等式选讲已知，证明【答案】见解析【解析】，,.4【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修45：不等式选讲已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（I）取绝对值得分段函数,然后作图；（II）用零点分区间法分,分类求解,然后取并集试题解析：如图所示：,当,解得或,当,解得或或当,解得或,或综上,或或,解集为考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.5【2016高考新课标2理数】选修45：不等式选讲已知函数，为不等式的解集（）求；（）证明：当时，【答案】（）；（）详见解析.【解析】试题分析：（I）分，和三种情况去掉绝对值，再解不等式，即可得集合；（）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，确定和的符号，从而证明不等式成立.（II）由（I）知，当时，从而，因此考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为， (此处设)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)几何法：利用的几何意义：数轴上到点和的距离之和大于的全体，.(3)图象法：作出函数和的图象，结合图象求解6【2015高考新课标2，理24】设均为正数，且，证明：（）若，则；（）是的充要条件7.【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为4()求的值；()求的最小值8【2015高考陕西，理24】选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为（I）求实数，的值；（II）求的最大值【解析】（I）由，得，则解得,（II）当且仅当，即时等号成立，故.9.【2015高考新课标1，理24】选修45：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；（）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【解析】（）当a=1时，不等式f(x)1化为|x+1|-2|x-1|1，等价于或或，解得，所以不等式f(x)1的解集为. （）由题设可得， 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，所以ABC的面积为.由题设得6，解得.所以的取值范围为（2，+）. 10. 【2014高考福建理第21（3）题】 已知定义在R上的函数的最小值为.（I）求的值；（II）若为正实数，且，求证：.11. 【2014高考辽宁理第24题】设函数，记的解集为M，的解集为N.（）求M；()当时，证明：.【解析】（） ，当时，由得，故；当时，由得，故；所以的解集为.()由得解得，因此，故.当时，于是，.12. 【2014高考全国1第24题】若，且.（）求的最小值；（）是否存在，使得？并说明理由.【解析】（I）由，得，且当时取等号故，且当时取等号所以的最小值为（II）由（I）知，由于，从而不存在，使得13. 【2014高考全国2第24题】设函数=（）证明：2；（）若，求的取值范围.【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对不等式选讲的考查，主要考查绝对值不等式，柯西不等式，基本不等式等知识，主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的最值，绝对值不等式的恒成立问题，利用柯西不等式，基本不等式求最值，题目难度一般为中、低档，着重考查利用数形结合的能力以及化归与转化思想.高考对这部分要求不是太高，会解绝对值不等式，会利用柯西不等式求最值，而解绝对值不等式是高考的热点，备考中应严格控制训练题的难度高考对这部分要求不是太高，高考中有选择题和填空的形式，新课标等以选做题的形式考查.预测2017年高考绝对值不等式仍是考试的重点，也有可能出一个利用柯西不等式求最值在近年的高考中，不等式选讲的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查绝对值不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力.预计绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解绝对值不等与利用柯西不等式证不等式.如果是解绝对值不等式含参数的绝对值不等式可能性比较大，如果是证明题将是利用柯西不等式.复习建议：在复习解绝对值不等式过程中，注意培养、强化与提高等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力. 能根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类绝对值不等式的解法和思路以及具体解法.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.【2017年高考考点定位】高考对不等式选讲的考查有含绝对值不等式的解法，有关不等式的证明，利用不等式的性质求最值【考点1】绝对值不等式【备考知识梳理】1绝对值三角不等式(1)定理1：如果是实数，则,对于，当且仅当时，等号成立(2)定理2：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式与的解集：不等式(2)()和 ()型不等式的解法：；或;(3)( )和 ()型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想3.易错点形如的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及的符号判断，若则不等式解集为.【规律方法技巧】1.解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定.2. 含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对，或.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号这适应于两边都是正数的绝对值不等式.(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解用零点分段法解绝对值不等式的步骤:求零点; 划区间,去掉绝对值符号; 分别解去掉绝对值的不等式;取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解3.证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明4对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值【考点针对训练】1. 函数（）求数的最大值；（）不等式恒成立，求实数的范围. 2. 已知函数（）解不等式；（）若关于的方程的解集为空集，求实数的取值范围.【考点2】不等式的证明【备考知识梳理】1不等式证明的方法(1)比较法：求差比较法：知道，因此要证明只要证明即可，这种方法称为求差比较法求商比较法：由且，因此当时，要证明，只要证明即可，这种方法称为求商比较法(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法(4)反证法和放缩法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法2几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：设均为实数，则 (当且仅当时，等号成立)柯西不等式的向量形式：设为平面上的两个向量，则.二维形式的三角不等式：设，那么.柯西不等式的一般形式：设为实数，则，当且仅当时，等号成立(2)平均值不等式：定理：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立我们称为正数的算术平均值，为正数的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术几何平均值不等式，简称为平均值不等式一般形式的算术几何平均值不等式：如果为个正数，则，当且仅当时，等号成立3.易错点：使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果【规律方法技巧】1. 绝对值不等式的证明：含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明2. 利用柯西不等式证明不等式：使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大，从而证得问题利用柯西不等式求最值的一般结构为：，在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件3.放缩法证明不等式的技巧(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度，既不能放的过小，也不能放过了头常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头(2)常见的放缩技巧有： ()；(k2，且kN*)4.对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号用作商法证明不等式应注意：.因此，用作商法必须先判定符号5.应用不等时注意以下几点：（1）使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧（2）基本不等式及其变式中的条件要准确把握如()，()等（3）含绝对值三角不等式：中等号成立的条件应注意中，而中等（4）分析法证明不等式的每一步都是寻求不等式成立的充分条件（5）换元法证明不等式时要注意换元后新元的取值范围忽视它会导致错误结论或无法进行下去（6）用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的项便于应用归纳假设（7）应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件（8）柯西不等式及排序不等式中(i1,2，n)均为实数，而平均值不等式中为正数【考点针对训练】1. 已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【两年模拟详解析】1. 【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】已知，求的最大值.【答案】【解析】由柯西不等式，得因为，所以所以，所以的最大值为，当且仅当等号成立2【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】解不等式：|x2|x|x2|2【答案】x|3x1或x0【解析】当x2时，不等式化为(2x)x(x2)2，解得3x2； 当2x2时，不等式化为(2x)x(x2)2，解得2x1或0x2； 当x2时，不等式化为(x2)x(x2)2,解得x2； 所以原不等式的解集为x|3x1或x03【江苏省南京市2016届高三年级第三次调研】已知：a2，xR求证：|x1a|xa|3【答案】详见解析【解析】证明：因为|m|+|n|mn|，所以|x1a|xa|x1a(xa)|2a1| 又a2，故|2a1|3所以|x1a|xa|34【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】求函数f(x)5的最大值【答案】6【解析】函数定义域为0，4，且f(x)0由柯西不等式得52()2( )()(5)2， 即274(5)2，所以56当且仅当5，即x时，取等号所以，函数f(x)5的最大值为65【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）】 设为实数，求证：【答案】详见解析【解析】证明：因为 右左= =，所以，原不等式成立6【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】已知，（其中是自然对数的底数），求证：.【答案】详见解析7【南通市2016届高三下学期第三次调研】已知，且，求证：【答案】详见解析【解析】证明：因为所以，将以上各式相加，得，又因为，从而8【盐城市2016届高三年级第三次模拟】已知正数满足，求的最小值.【答案】【解析】 ，（当且仅当时等号成立）所以的最小值为.9【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知x，y，z均为正数求证：【答案】详见解析；【解析】证明：因为x，y，z都是为正数，所以 同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】已知实数a，b，c，d满足，求a的取值范围【答案】【解析】由柯西不等式，得， 即由条件，得， 解得，当且仅当 时等号成立，代入时，；时， 所以的取值范围是11【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：【答案】见解析.【解析】证明：因abcd，故a-b0，b-c0，c-d0 故， 所以，12【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知函数. 若不等式恒成立，求实数的范围【答案】【解析】由|，且，得 又因为，则有2 解不等式，得13【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】已知实数x，y满足xy，求证：2x 2y3【答案】见解析.14【徐州市20142015学年度高三第三次质量检测】已知都是正数，求证：【答案】见解析.【解析】证明：因为，所以 同理 相加得，从而由都是正数，得，因此15【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】已知为正实数，求证：，并求等号成立的条件.【答案】证明略，.【解析】当且仅当时第一个等号成立，当且仅当时第二个等号成立，若两个等号同时成立需.16设函数 （1）当时，解不等式；（2）若的解集为，求证：17设函数，（）证明（）若不等式的解2集非空，求的取值范围.【解析】（） （）的取值范围是 18已知实数满足，且（）证明：；（）证明：【解析】（1）根据均值不等式有， ，将三个式子相乘，得到，即得证；（2）同分可得，再根据均值不等式有， ，将三个式子相加，得到，由于，故.拓展试题以及解析1. 已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为2,2(1) 求m的值； (2)若a，b，cR，且a+b+c=m，不等式对任意实数都成立，求的取值范围.【入选理由】本题考察绝对值不等式的解法、柯西不等式等基础知识，意在考察逻辑思维能力和基本运算求解能力. 本题突出考查了绝对值不等式的解法，柯西不等式的灵活应用，主要考查的是对基本知识的理解与运用，基础性强，难度不大，故选此题.2. 已知函数 （）解不等式: ； （）若，求证：.【解析】（）由题.因此只须解不等式. 当时，原不式等价于，即.当时，原不式等价于，即.当时，原不式等价于，即.综上,原不等式的解集为. （）由题.当0时，【入选理由】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查逻辑思维能力和基本运算求解能力. 本题是是一个综合题，有一定的难度，且立意比较新，构思巧妙，有特色，故选此题.3. 已知函数 （）若，求不等式的解集；（）若方程有三个不同的解，求的取值范围【入选理由】本题考查绝对值不等式的解法、函数图象等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力和基本运算求解能力. 本题中与函数零点交汇命题，有一定的综合性，难度适中，故选此题
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