高考数学二模试卷 理（含解析）2

2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，集合A=x|1x1，B=x|x22x0，则（UA）B=（）A1，0B1，2C（1，2D（，12，+）2设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A2BC3D23不等式|2x1|x+2的解集是（）A（，3）B（，）（3，+）C（，3）（，+）D（3，+）4若函数f（x）=2sin（x+）对任意x都有f（+x）=f（x），则f（）=（）A2或0B2或2C0D2或05一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A1B0C1D56已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）Ax2=1By2=1Cy2=1Dx2=17用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，ac，则bc；若a，b，则ab；若a，b，则ab其中真命题的序号是（）ABCD8设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|2的概率为（）ABCD9已知等差数列an的前n项和为Sn，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A10B20C25D3010已知ABC三边长构成公差为d（d0）的等差数列，则ABC最大内角的取值范围为（）ABCD11已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A4B1C3D212若对x，y0，+），不等式4axex+y2+exy2+2恒成立，则实数a的最大值是（）AB1C2D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13命题“对任意x0，都有x20”的否定为_14若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_15设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+），且M0，对于任意a，b，c（M，+），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_16已知|=1，|=， =0，点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n（m、nR），则等于_三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17等差数列an的公差为d（d0），ai1，2，3，4，5（i=1，2，3），则数列bn中，b1=1，点Bn（n，bn）在函数g（x）=a2x（a是常数）的图象上（）求数列an、bn的通项公式；（）若cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1（1）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求的值19甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望E甲乙98758x218003553902520已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x27x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点 （，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由21已知函数（其中常数a，bR），（）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（）若a0，求函数f（x）的单调递增区间；（）当时，求函数g（x）在0，a上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的xR，f（x）h（a）恒成立请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分选修4-4：坐标系与参数方程23已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（为参数）（1）在极坐标系下，若曲线C与射线=和射线=分别交于A，B两点，求AOB的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为cossin=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标选修4-5：不等式选讲24已知：函数f（x）=|13x|+3+ax（1）若a=1，解不等式f（x）5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，集合A=x|1x1，B=x|x22x0，则（UA）B=（）A1，0B1，2C（1，2D（，12，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（UA）B【解答】解：全集U=R，集合A=x|1x1，B=x|x22x0=x|0x2，UA=x|x1或x1，（UA）B=x|1x2=（1，2故选：C2设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A2BC3D2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】先求出+z，再求出其模即可【解答】解：z=1+i，+z=+1+i=1i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A3不等式|2x1|x+2的解集是（）A（，3）B（，）（3，+）C（，3）（，+）D（3，+）【考点】绝对值三角不等式【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|a等价于xa或xa，最后求并集即可【解答】解：当x+20时，不等式可化为2x1x+2或2x1（x+2），x3或2x1x2，x3或2x，当x+20时，即x2，显然成立，故x的范围为x3或x故选：B4若函数f（x）=2sin（x+）对任意x都有f（+x）=f（x），则f（）=（）A2或0B2或2C0D2或0【考点】正弦函数的图象【分析】由f（+x）=f（x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论【解答】解：函数f（x）=2sin（x+）对任意x都有f（+x）=f（x），x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=2，故选：B5一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A1B0C1D5【考点】程序框图【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，y=，sin（）=2k+，kZ，即可解得x=12k+1，kZ当k=0时，有x=1故选：C6已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）Ax2=1By2=1Cy2=1Dx2=1【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得ca=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得ca=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d=b=，又c2a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2=1故选：A7用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，ac，则bc；若a，b，则ab；若a，b，则ab其中真命题的序号是（）ABCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是ac，所以错误；若ab，bc，则ac，满足平行线公理，所以正确；平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以错误；垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断正确；故选：D8设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|2的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】若x，yR，则区域W的面积是22=4满足|OM|2的点M构成的区域为（x，y）|1x1，0y2，x2+y24，求出面积，即可求出概率【解答】解：这是一个几何概率模型若x，yR，则区域W的面积是22=4满足|OM|2的点M构成的区域为（x，y）|1x1，0y2，x2+y24，面积为2（）= +，故|OM|2的概率为故选：D9已知等差数列an的前n项和为Sn，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A10B20C25D30【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解【解答】解：a1+a17=2a9，s17=17a9=170，a9=10，a7+a9+a11=3a9=30；故选D10已知ABC三边长构成公差为d（d0）的等差数列，则ABC最大内角的取值范围为（）ABCD【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由已知根据三角形内角和定理得3，从而解得，妨设三角形三边为ad，a，a+d，（a0，d0），利用余弦定理可得cos=21，结合三角形内角的范围即可得解【解答】解：为ABC最大内角，3，即，由题意，不妨设三角形三边为ad，a，a+d，（a0，d0），则由余弦定理可得，cos=2=2，又三角形两边之和大于第三边，可得ad+aa+d，可得a2d，即，cos=21，又为三角形内角，（0，），可得：（，）故选：B11已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A4B1C3D2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】根据分段函数，分别讨论x的范围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a2a+2，求解即可【解答】解：f（x）=，当x0时，f（x）的最小值为a2，当x0时，f（x）的最小值为2+a，在x=0处取得最小值，a2a+2，1a2，故选D12若对x，y0，+），不等式4axex+y2+exy2+2恒成立，则实数a的最大值是（）AB1C2D【考点】函数恒成立问题【分析】利用基本不等式和参数分离可得a在x0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值【解答】解：当x=0时，不等式即为0ey2+ey2+2，显然成立；当x0时，设f（x）=ex+y2+exy2+2，不等式4axex+y2+exy2+2恒成立，即为不等式4axf（x）恒成立即有f（x）=ex2（ey+ey）+2ex22+2=2+2ex2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax2+2ex2，即有a在x0时恒成立，令g（x）=，g（x）=，令g（x）=0，即有（x1）ex2=1，令h（x）=（x1）ex2，h（x）=xex2，当x0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x1）ex2=1的根为2，当x2时，g（x）递增，0x2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a当x=2，y=0时，a取得最大值故选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13命题“对任意x0，都有x20”的否定为存在x00，都有【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x0，都有x20”的否定为：存在x00，都有；故答案为：存在x00，都有；14若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为1【考点】二项式系数的性质【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab的值【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为Tr+1=a6rbrx123r，令123r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为a3b3=20，ab=1故答案为：115设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+），且M0，对于任意a，b，c（M，+），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为【考点】三角形的形状判断；函数的值【分析】不妨设c为斜边，则Mac，Mbc，则可得abM2，结合题意可得，结合a2+b22ab可求c的范围，进而可求M的范围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则Mac，MbcabM2由题意可得，a2+b22ab2cc22c即c2ab2M22故答案为：16已知|=1，|=， =0，点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n（m、nR），则等于3【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点【分析】先根据=0，可得，又因为=|OC|1cos30=1，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案【解答】解：|=1，|=， =0，=|OC|1cos30=1在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为=m+n=n+m，两式相比可得： =3故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17等差数列an的公差为d（d0），ai1，2，3，4，5（i=1，2，3），则数列bn中，b1=1，点Bn（n，bn）在函数g（x）=a2x（a是常数）的图象上（）求数列an、bn的通项公式；（）若cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）等差数列an的公差为d（d0），ai1，2，3，4，5（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1利用等差数列的通项公式即可得出由点Bn（n，bn）在函数g（x）=a2x（a是常数）的图象上，可得bn=a2n利用b1=1，解得a，即可得出（II）cn=anbn=（72n）2n1利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（I）等差数列an的公差为d（d0），ai1，2，3，4，5（i=1，2，3），a1=5，a2=3，a3=1d=35=2，an=52（n1）=72n点Bn（n，bn）在函数g（x）=a2x（a是常数）的图象上，bn=a2nb1=1，1=a21，解得a=bn=2n1（II）cn=anbn=（72n）2n1数列cn的前n项和Sn=51+32+122+（72n）2n12Sn=52+322+（92n）2n1+（72n）2n，Sn=52（2+22+2n1）（72n）2n=5（72n）2n=9（92n）2n，Sn=（92n）2n918如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1（1）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求的值【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可（2）利用四点共面， =x+y，建立方程关系进行求解即可【解答】解：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1则x=1，y=2，即=（1，2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos，=即平面AEF与平面ABC所成角的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），=，=（1，1，6）=（，6），=+=（，66）A，E，F，H四点共面，设=x+y，即（，66）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得=，x=y=，故的值为19甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望E甲乙98758x2180035539025【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量的可能取值为0、1、2、3， 由题意可以分析出该随机变量B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得【解答】解：（1）依题意，解x=4， 由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变的可能取值为0、1、2、3，B（3，），其k=0、1、2、3所以变的分布列为：0123P20已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x27x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点 （，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsin）2=3（m+tcos），sin2t2+（2nsin3cos）t+n23m=0，由韦达定理得，若使得点 （，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x27x+y2+4=0化为标准式：则有（x2）2=x27x+y2+4，整理可得y2=3x曲线E的方程为y2=3x（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsin）2=3（m+tcos），sin2t2+（2nsin3cos）t+n23m=0由韦达定理得， =令12n与2n2+6m9同时为0得n=0，此时为定值故存在21已知函数（其中常数a，bR），（）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（）若a0，求函数f（x）的单调递增区间；（）当时，求函数g（x）在0，a上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的xR，f（x）h（a）恒成立【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性【分析】（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论（）求出函数g（x）在0，a上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的xR，f（x）h（a）恒成立，等价于f（x）minh（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可【解答】解：（）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，对xR，f（x）=f（x）成立，得，得，令f（x）=0，得x2=1，x=1，经检验x=1是函数f（x）的极值点（）因为，令f（x）0ax22bx+a0，得ax2+2bxa0，当a0时，方程ax2+2bxa=0的判别式=4b2+4a20，两根，单调递增区间为，当a0时，单调递增区间为和（） 因为，当x0，a时，令g（x）=0，得，其中当x变化时，g（x）与g（x）的变化情况如下表：x（0，x0）x0（x0，a）g（x）+0g（x）函数g（x）在0，a上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者又g（0）=0，h（a）=g（a），b=0时，由函数是奇函数，且，x0时，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x0时，函数f（x）的最小值为，要使对任意xR，f（x）h（a）恒成立，则f（x）最小h（a），即不等式在上有解，a=符合上述不等式，存在满足条件的实数a=，使对任意xR，f（x）h（a）恒成立请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：DGP=PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分【解答】证明：（1）PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，PDA=DBA，BDA=90，DBA+DAB=90，PEAB在RtAFG中，FGA+GAF=90，FGA+DAB=90，FGA=DBAFGA=DGP，DGP=PDA，DGP=PDG，PG=PD；（2）连接AE，则CEAB，AB为圆的一条直径，AE=AC=BD，EDA=DAB，DEA=DBA，BDAEAD，DE=AB，DE为圆的一条直径，线段AB与DE互相平分选修4-4：坐标系与参数方程23已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（为参数）（1）在极坐标系下，若曲线C与射线=和射线=分别交于A，B两点，求AOB的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为cossin=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线C的参数方程为，（为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA|，|OB|，利用直角三角形面积计算公式可得AOB的面积（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得xy2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，故AOB的面积（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得xy2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或选修4-5：不等式选讲24已知：函数f（x）=|13x|+3+ax（1）若a=1，解不等式f（x）5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）若a=1，不等式f（x）5，即为|3x1|x+2，去掉绝对值解不等式f（x）5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|3x1|+3x，所以不等式f（x）5，即为|3x1|x+2，讨论：当时，3x1x+35，解之得；当时，3x+1x+35，解之得，综上，原不等式的解集为（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即3a3