高考数学三轮增分练 高考压轴大题突破练（四）函数与导数（2）理

(四)函数与导数(2)1(2016课标全国丙)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，11，证明：当x(0,1)时，1(c1)xcx.(1)解由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即11，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c令g(x)0，解得x0.当x0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.2(2016课标全国甲)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，当a4时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x3，f(1)2，f(1)0，曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1，)时，f(x)0等价于ln x0，设g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g(x)0得，x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)f(x)对于任意的x1,2成立(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0时，f(x).0a1，当x(0,1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增(2)证明由(1)知，a1时，f(x)f(x)xln xxln x1，x1,2设g(x)xln x，h(x)1，x1,2，则f(x)f(x)g(x)h(x)由g(x)0，可得g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号又h(x).设(x)3x22x6，则(x)在x1,2内单调递减因为(1)1，(2)10，所以x0(1,2)，使得x(1，x0)时，(x)0，x(x0，2)时，(x)g(1)h(2)，即f(x)f(x)对于任意的x1,2成立